Дадени са четири точки A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Съставете уравнения:
Изчисли:
а) Уравнение на равнина A1A2A3:
Нека намерим векторното произведение на векторите A1A2 и A1A3:
\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]
Тогава уравнението на равнината е A1A2A3:
\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]
или
\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]
б) Уравнение на линия A1A2:
Нека намерим насочващия вектор на права линия A1A2:
\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]
Тогава уравнението на права линия A1A2:
\[ \begin{cases} x = 4 + 3t, \\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{cases} \]
в) Уравнение на линия A4M:
Тъй като правата A4M е перпендикулярна на равнината A1A2A3, насочващият вектор на правата A4M трябва да е колинеарен на нормалния вектор към равнината A1A2A3. Нека намерим този нормален вектор:
\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]
Правата MA4, минаваща през точка A4, има уравнението:
\[ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} \ ]
където $
Дадени са четири точки A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Съставете уравнения:
Изчисли:
а) Уравнение на равнина A1A2A3:
Нека намерим векторното произведение на векторите A1A2 и A1A3:
\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]
Тогава уравнението на равнината е A1A2A3:
\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]
или
\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]
б) Уравнение на линия A1A2:
Нека намерим насочващия вектор на права линия A1A2:
\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]
Тогава уравнението на права линия A1A2:
\[ \begin{cases} x = 4 + 3t, \\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{cases} \]
в) Уравнение на линия A4M:
Тъй като правата A4M е перпендикулярна на равнината A1A2A3, насочващият вектор на правата A4M трябва да е колинеарен на нормалния вектор към равнината A1A2A3. Нека намерим този нормален вектор:
\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]
Правата MA4, минаваща през точка A4, има уравнението:
\[ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} \ ]
където $k_
Има четири точки: A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Необходимо:
Също така трябва да изчислите:
а) Уравнение на равнина A1A2A3:
Нека намерим векторното произведение на векторите A1A2 и A1A3:
\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]
Тогава уравнението на равнината е A1A2A3:
\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]
или
\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]
б) Уравнение на права линия A1A2:
Нека намерим насочващия вектор на права линия A1A2:
\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]
Тогава уравнението на права линия A1A2:
\[ \begin{cases} x = 4 + 3t, \\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{cases} \]
в) Уравнение на линия A4M:
Тъй като правата линия A4M е перпендикулярна на равнината A1A2A3, векторът на посоката на правата линия A4M трябва да е колинеарен на нормалния вектор към равнината A1A2A3. Нека намерим този нормален вектор:
\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]
Правата MA4, минаваща през точка A4, има уравнението:
\[ \begin{cases} x
В това упражнение трябва да намерите уравненията на равнина, минаваща през три дадени точки, права, минаваща през две дадени точки, и права, перпендикулярна на равнината и минаваща през дадена точка. Необходимо е също да се намери уравнението на права, успоредна на дадена права и уравнението на равнина, перпендикулярна на дадена права и минаваща през дадена точка. Освен това трябва да изчислите синуса и косинуса на ъглите между дадени обекти.
а) Уравнение на равнина A1A2A3: Нека намерим векторното произведение на векторите A1A2 и A1A3: [ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 7-4 & 10-4 & 2-10 \ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} ] Тогава уравнението на равнината е A1A2A3: [ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0. ] или [ 3x - 13y - 9z + 71 = 0. ]
б) Уравнение на права линия A1A2: Нека намерим насочващия вектор на права линия A1A2: [ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\vec {j} - 8\vec{k}. ] Тогава уравнението на права линия A1A2: [ \begin{cases} x = 4 + 3t, \ y = 4 + 6t, \ z = 10 - 8t. \end{cases} ]
в) Уравнение на линия A4M: Тъй като правата A4M е перпендикулярна на равнината A1A2A3, насочващият вектор на правата A4M трябва да е колинеарен на нормалния вектор към равнината A1A2A3. Нека намерим този нормален вектор: [\vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. ] Правата MA4, минаваща през точка A4, има уравнението: [ \begin{случаи} x - 9 = k_1 \cdot 6, \ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{случаи} ] където $k_1$ е произволен параметър.
г) Уравнение на линия A3N: Тъй като права линия A3N е успоредна на права линия A1A2, тя има същия вектор на посоката: [ \overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}. ] Правата A3N, минаваща през точка A3, има уравнението: [ \begin{cases} x = 2 + 3t, \ y = 8 + 6t, \ z = 4 - 8t. \end{cases} ]
д) Уравнение на равнина, минаваща през точка A4 и перпендикулярна на права A1A2: Векторът на посоката на права линия A1A2 вече беше намерен в предишния параграф: $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$. Нормалният вектор към желаната равнина трябва да бъде перпендикулярен на този насочващ вектор, тоест да има координати , 6, -8$. Тогава уравнението на желаната равнина има формата: [ 3(x-9) + 6(y-6) - 8(z-9) = 0, ] или [ 3x + 6y - 8z - 9 = 0. ]
е) Синус и косинус на ъгъла между правите A1A2 и A3N: Насочващите вектори на правите A1A2 и A3N са съответно равни на $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$ и $\overrightarrow{A_1A_3} = 3 \vec{i} + 2\vec{j} - 8\vec{k}$. Тяхното скаларно произведение е равно на: [ \overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3} = 3 \cdot 3 + 6 \cdot 2 + (-8) \cdot (-8) = 83. ] Дължините на векторите са: [ |\стрелка надясно{A_1A_2}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-8)^2} = \sqrt{109}, ] [ |\стрелка надясно{A_1A_3}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{77}. ] Тогава синусът на ъгъла между прави линии може да се изчисли по формулата: [ \sin\alpha = \frac{|\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}|}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{\sqrt{77}}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{\sqrt{77}}{77}. ] А косинусът на ъгъла между прави линии е равен на: [ \cos\alpha = \frac{\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3}}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{83}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{83\sqrt{77}}{847}. ]
***
Рябушко А.П. IDZ 3.1 версия 12 е учебна задача или тест от курса „Информатика и програмиране“, разработен от автора Ryabushko A.P. Опция 12 представлява един възможен набор от елементи, които могат да бъдат включени в тази версия на теста. Задачите могат да включват различни теми, свързани с компютърните науки и програмирането, като алгоритми, структури от данни, езици за програмиране и др. В зависимост от конкретния вариант задачите могат да бъдат с различна сложност и да изискват различно ниво на познания. Решаването на задачи от IDZ 3.1 версия 12 може да помогне на учениците да затвърдят и проверят знанията си в областта на компютърните науки и програмирането.
***
Рябушко А.П. IDZ 3.1 версия 12 е чудесен цифров продукт за тези, които учат програмиране.
С помощта на IDZ 3.1 версия 12 можете лесно и бързо да научите нови умения в програмирането.
Този цифров продукт съдържа много полезни материали, които да ви помогнат да подобрите уменията си по програмиране.
Рябушко А.П. IDZ 3.1 версия 12 е отличен избор за тези, които искат да подобрят знанията си в областта на компютърните науки.
Ако търсите ефективен начин да подобрите уменията си за програмиране, тогава IPD 3.1 Option 12 е идеалният избор.
Рябушко А.П. IDZ 3.1 версия 12 е надежден и висококачествен цифров продукт, който ще ви помогне да постигнете успех в програмирането.
Този дигитален продукт съдържа много практически задачи, които ще ви помогнат да затвърдите знанията си по програмиране.
Bulgarian 
English 
Chinese 
Spanish 
Indonesian 
French 
Portuguese 
Russian 
Japanese 
Turkish 
Deutsch 
Vietnamese 
Italian 
Polish 
Korean 
Dutch 
Swedish 
Hungarian 
Norwegian 
Finnish 
Greek 
Czech 
Danish 
Решение на задача 16.1.2 от сборника на Kepe O.E. - 16.1.2 При заданном уравнении вращения ? = 2(t2 + 1) наклонного стержня с осевым моментом инерции I ... ...