Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versão 12

№1.12

Dados quatro pontos A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Faça equações:

1. planos A1 A2 A3;
2. reta A1A2;
3. linha reta A4M, perpendicular ao plano A1A2A3;
4. linha reta A3N paralela à linha reta A1A2;
5. plano que passa pelo ponto A4, perpendicular à reta A1A2.

Calcular:

1. seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3;
2. cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3.

a) Equação do plano A1A2A3:

Vamos encontrar o produto vetorial dos vetores A1A2 e A1A3:

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 e 10 -4 e 2-10 \\ 2-4 e 8-4 e 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]

Então a equação do plano é A1A2A3:

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

ou

\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]

b) Equação da reta A1A2:

Vamos encontrar o vetor de direção da linha reta A1A2:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]

Então a equação da reta A1A2:

\[ \begin{casos} x = 4 + 3t, ​​\\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{casos} \]

c) Equação da linha A4M:

Como a reta A4M é perpendicular ao plano A1A2A3, o vetor diretor da reta A4M deve ser colinear ao vetor normal ao plano A1A2A3. Vamos encontrar este vetor normal:

\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]

A reta MA4 passando pelo ponto A4 tem a equação:

\[ \begin{casos} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{casos} \ ]

onde $

№1.12

Dados quatro pontos A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Faça equações:

1. planos A1 A2 A3;
2. reta A1A2;
3. linha reta A4M, perpendicular ao plano A1A2A3;
4. linha reta A3N paralela à linha reta A1A2;
5. plano que passa pelo ponto A4, perpendicular à reta A1A2.

Calcular:

1. seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3;
2. cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3.

a) Equação do plano A1A2A3:

Vamos encontrar o produto vetorial dos vetores A1A2 e A1A3:

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 e 10 -4 e 2-10 \\ 2-4 e 8-4 e 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]

Então a equação do plano é A1A2A3:

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

ou

\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]

b) Equação da reta A1A2:

Vamos encontrar o vetor de direção da linha reta A1A2:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]

Então a equação da reta A1A2:

\[ \begin{casos} x = 4 + 3t, ​​\\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{casos} \]

c) Equação da linha A4M:

Como a reta A4M é perpendicular ao plano A1A2A3, o vetor diretor da reta A4M deve ser colinear ao vetor normal ao plano A1A2A3. Vamos encontrar este vetor normal:

\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]

A reta MA4 passando pelo ponto A4 tem a equação:

\[ \begin{casos} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{casos} \ ]

onde $k_

№1.12

São quatro pontos: A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Necessário:

1. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos A1, A2, A3.
2. Encontre a equação da linha A1A2.
3. Encontre a equação da reta A4M, que é perpendicular ao plano A1A2A3 e passa pelo ponto A4.
4. Encontre a equação da reta A3N paralela à reta A1A2.
5. Encontre a equação do plano que passa pelo ponto A4 e é perpendicular à reta A1A2.

Você também precisa calcular:

1. seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3;
2. cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3.

a) Equação do plano A1A2A3:

Vamos encontrar o produto vetorial dos vetores A1A2 e A1A3:

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 e 10 -4 e 2-10 \\ 2-4 e 8-4 e 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]

Então a equação do plano é A1A2A3:

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

ou

\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]

b) Equação da reta A1A2:

Vamos encontrar o vetor de direção da linha reta A1A2:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]

Então a equação da reta A1A2:

\[ \begin{casos} x = 4 + 3t, ​​\\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{casos} \]

c) Equação da linha A4M:

Como a reta A4M é perpendicular ao plano A1A2A3, o vetor diretor da reta A4M deve ser colinear ao vetor normal ao plano A1A2A3. Vamos encontrar este vetor normal:

\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]

A reta MA4 passando pelo ponto A4 tem a equação:

\[ \begin{casos} x

Neste exercício você precisa encontrar as equações de um plano que passa por três pontos dados, uma reta que passa por dois pontos dados e uma reta perpendicular ao plano que passa por um determinado ponto. Também é necessário encontrar a equação de uma reta paralela a uma dada reta e a equação de um plano perpendicular a uma dada reta e passando por um determinado ponto. Além disso, você precisa calcular o seno e o cosseno dos ângulos entre determinados objetos.

a) Equação do plano A1A2A3: Vamos encontrar o produto vetorial dos vetores A1A2 e A1A3: [\vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 7-4 e 10-4 & 2-10 \ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} ] Então a equação do plano é A1A2A3: [6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0.] ou [3x - 13y - 9z + 71 = 0.]

b) Equação da reta A1A2: Vamos encontrar o vetor de direção da linha reta A1A2: [\overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\vec {j} - 8\vec{k}. ] Então a equação da reta A1A2: [ \begin{casos} x = 4 + 3t, ​​​​\ y = 4 + 6t, \ z = 10 - 8t. \end{casos} ]

c) Equação da linha A4M: Como a reta A4M é perpendicular ao plano A1A2A3, o vetor diretor da reta A4M deve ser colinear ao vetor normal ao plano A1A2A3. Vamos encontrar este vetor normal: [\vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. ] A reta MA4 passando pelo ponto A4 tem a equação: [ \begin{casos} x - 9 = k_1 \cdot 6, \ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{casos} ] onde $k_1$ é um parâmetro arbitrário.

d) Equação da linha A3N: Como a reta A3N é paralela à reta A1A2, ela tem o mesmo vetor de direção: [\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}. ] A reta A3N passando pelo ponto A3 tem a equação: [ \begin{casos} x = 2 + 3t, ​​​​\ y = 8 + 6t, \ z = 4 - 8t. \end{casos} ]

e) Equação de um plano que passa pelo ponto A4 e perpendicular à reta A1A2: O vetor direção da reta A1A2 já foi encontrado no parágrafo anterior: $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$. O vetor normal ao plano desejado deve ser perpendicular a este vetor de direção, ou seja, ter coordenadas , 6, -8$. Então a equação do plano desejado tem a forma: [3(x-9) + 6(y-6) - 8(z-9) = 0,] ou [3x + 6y - 8z - 9 = 0.]

f) Seno e cosseno do ângulo entre as retas A1A2 e A3N: Os vetores de direção das retas A1A2 e A3N são respectivamente iguais a $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$ e $\overrightarrow{A_1A_3} = 3 \vec{i} + 2\vec{j} - 8\vec{k}$. Seu produto escalar é igual a: [\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3} = 3 \cdot 3 + 6 \cdot 2 + (-8) \cdot (-8) = 83.] Os comprimentos dos vetores são: [ |\overrightarrow{A_1A_2}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-8)^2} = \sqrt{109}, ] [ |\overrightarrow{A_1A_3}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{77}. ] Então o seno do ângulo entre linhas retas pode ser calculado usando a fórmula: [ \sin\alpha = \frac{|\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}|}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{\sqrt{77}}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{\sqrt{77}}{77}. ] E o cosseno do ângulo entre retas é igual a: [ \cos\alpha = \frac{\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3}}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{83}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{83\sqrt{77}}{847}. ]

***

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versão 12 é uma tarefa educacional ou teste do curso “Informática e Programação”, desenvolvido pelo autor Ryabushko A.P. A opção 12 representa um possível conjunto de itens que podem ser incluídos nesta versão do teste. As tarefas podem incluir vários tópicos relacionados à ciência da computação e programação, como algoritmos, estruturas de dados, linguagens de programação, etc. Dependendo da opção específica, as tarefas podem ter complexidade variável e exigir diferentes níveis de conhecimento. A resolução de tarefas do IPD 3.1 versão 12 pode ajudar os alunos a consolidar e testar seus conhecimentos na área de ciência da computação e programação.

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