Gegeben seien vier Punkte A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Bilden Sie Gleichungen:
Berechnung:
a) Gleichung der Ebene A1A2A3:
Finden wir das Vektorprodukt der Vektoren A1A2 und A1A3:
\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]
Dann lautet die Gleichung der Ebene A1A2A3:
\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]
oder
\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]
b) Gleichung der Geraden A1A2:
Finden wir den Richtungsvektor der Geraden A1A2:
\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]
Dann gilt die Gleichung der Geraden A1A2:
\[ \begin{cases} x = 4 + 3t, \\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{Fälle} \]
c) Gleichung der Geraden A4M:
Da die Gerade A4M senkrecht zur Ebene A1A2A3 steht, muss der Richtungsvektor der Geraden A4M kollinear zum Normalenvektor zur Ebene A1A2A3 sein. Finden wir diesen Normalenvektor:
\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]
Die Gerade MA4, die durch den Punkt A4 verläuft, hat die Gleichung:
\[ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} \ ]
wo $
Gegeben seien vier Punkte A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Bilden Sie Gleichungen:
Berechnung:
a) Gleichung der Ebene A1A2A3:
Finden wir das Vektorprodukt der Vektoren A1A2 und A1A3:
\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]
Dann lautet die Gleichung der Ebene A1A2A3:
\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]
oder
\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]
b) Gleichung der Geraden A1A2:
Finden wir den Richtungsvektor der Geraden A1A2:
\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]
Dann gilt die Gleichung der Geraden A1A2:
\[ \begin{cases} x = 4 + 3t, \\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{Fälle} \]
c) Gleichung der Geraden A4M:
Da die Gerade A4M senkrecht zur Ebene A1A2A3 steht, muss der Richtungsvektor der Geraden A4M kollinear zum Normalenvektor zur Ebene A1A2A3 sein. Finden wir diesen Normalenvektor:
\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]
Die Gerade MA4, die durch den Punkt A4 verläuft, hat die Gleichung:
\[ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} \ ]
wo $k_
Es gibt vier Punkte: A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Notwendig:
Sie müssen außerdem Folgendes berechnen:
a) Gleichung der Ebene A1A2A3:
Finden wir das Vektorprodukt der Vektoren A1A2 und A1A3:
\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]
Dann lautet die Gleichung der Ebene A1A2A3:
\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]
oder
\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]
b) Gleichung der Geraden A1A2:
Finden wir den Richtungsvektor der Geraden A1A2:
\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}. \]
Dann gilt die Gleichung der Geraden A1A2:
\[ \begin{cases} x = 4 + 3t, \\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{Fälle} \]
c) Gleichung der Geraden A4M:
Da die Gerade A4M senkrecht zur Ebene A1A2A3 steht, muss der Richtungsvektor der Geraden A4M kollinear zum Normalenvektor zur Ebene A1A2A3 sein. Finden wir diesen Normalenvektor:
\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. \]
Die Gerade MA4, die durch den Punkt A4 verläuft, hat die Gleichung:
\[ \begin{cases} x
In dieser Übung müssen Sie die Gleichungen einer Ebene finden, die durch drei gegebene Punkte verläuft, einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, und einer Geraden, die senkrecht zur Ebene verläuft und durch einen gegebenen Punkt verläuft. Es ist auch notwendig, die Gleichung einer Geraden parallel zu einer gegebenen Geraden und die Gleichung einer Ebene zu finden, die senkrecht zu einer gegebenen Geraden steht und durch einen gegebenen Punkt verläuft. Darüber hinaus müssen Sie den Sinus und Cosinus der Winkel zwischen bestimmten Objekten berechnen.
a) Gleichung der Ebene A1A2A3: Finden wir das Vektorprodukt der Vektoren A1A2 und A1A3: [ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 7-4 & 10-4 & 2-10 \ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} ] Dann lautet die Gleichung der Ebene A1A2A3: [ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0. ] oder [ 3x - 13y - 9z + 71 = 0. ]
b) Gleichung der Geraden A1A2: Finden wir den Richtungsvektor der Geraden A1A2: [ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\vec {j} - 8\vec{k}. ] Dann gilt die Gleichung der Geraden A1A2: [ \begin{cases} x = 4 + 3t, \ y = 4 + 6t, \ z = 10 - 8t. \end{cases} ]
c) Gleichung der Geraden A4M: Da die Gerade A4M senkrecht zur Ebene A1A2A3 steht, muss der Richtungsvektor der Geraden A4M kollinear zum Normalenvektor zur Ebene A1A2A3 sein. Finden wir diesen Normalenvektor: [ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. ] Die Gerade MA4, die durch den Punkt A4 verläuft, hat die Gleichung: [ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} ] wobei $k_1$ ein beliebiger Parameter ist.
d) Gleichung der Geraden A3N: Da die Gerade A3N parallel zur Geraden A1A2 ist, hat sie den gleichen Richtungsvektor: [ \overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}. ] Die Gerade A3N, die durch den Punkt A3 verläuft, hat die Gleichung: [ \begin{cases} x = 2 + 3t, \ y = 8 + 6t, \ z = 4 - 8t. \end{cases} ]
e) Gleichung einer Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 steht: Der Richtungsvektor der Geraden A1A2 wurde bereits im vorherigen Absatz gefunden: $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$. Der Normalenvektor zur gewünschten Ebene muss senkrecht zu diesem Richtungsvektor stehen, also die Koordinaten , 6, -8$ haben. Dann hat die Gleichung der gewünschten Ebene die Form: [ 3(x-9) + 6(y-6) - 8(z-9) = 0, ] oder [ 3x + 6y - 8z - 9 = 0. ]
f) Sinus und Cosinus des Winkels zwischen den Geraden A1A2 und A3N: Die Richtungsvektoren der Geraden A1A2 und A3N sind jeweils gleich $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$ und $\overrightarrow{A_1A_3} = 3 \vec{i} + 2\vec{j} - 8\vec{k}$. Ihr Skalarprodukt ist gleich: [ \overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3} = 3 \cdot 3 + 6 \cdot 2 + (-8) \cdot (-8) = 83. ] Die Längen der Vektoren sind: [ |\overrightarrow{A_1A_2}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-8)^2} = \sqrt{109}, ] [ |\overrightarrow{A_1A_3}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{77}. ] Dann kann der Sinus des Winkels zwischen Geraden mit der Formel berechnet werden: [ \sin\alpha = \frac{|\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}|}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{\sqrt{77}}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{\sqrt{77}}{77}. ] Und der Kosinus des Winkels zwischen Geraden ist gleich: [ \cos\alpha = \frac{\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3}}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{83}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{83\sqrt{77}}{847}. ]
***
Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Version 12 ist eine Lernaufgabe oder ein Test aus dem Kurs „Informatik und Programmierung“, entwickelt vom Autor Ryabushko A.P. Option 12 stellt einen möglichen Satz von Elementen dar, die in dieser Version des Tests enthalten sein können. Aufgaben können verschiedene Themen im Zusammenhang mit Informatik und Programmierung umfassen, wie z. B. Algorithmen, Datenstrukturen, Programmiersprachen usw. Abhängig von der konkreten Option können die Aufgaben unterschiedlich komplex sein und unterschiedliche Wissensniveaus erfordern. Das Lösen von Aufgaben aus der IDZ 3.1 Version 12 kann Studierenden dabei helfen, ihr Wissen im Bereich Informatik und Programmierung zu festigen und zu testen.
***
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Lösung zu Aufgabe 16.1.2 aus der Sammlung von Kepe O.E. - 16.1.2 При заданном уравнении вращения ? = 2(t2 + 1) наклонного стержня с осевым моментом инерции I ... ...