リャブシュコ A.P. IDZ 3.1 バージョン 12

№1.12

4 つの点 A1(4;4;10) が与えられるとします。 A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9)。方程式を作成します。

1. 面 A1 A2 A3。
2. ストレートA1A2。
3. 直線A4M、平面A1A2A3に垂直。
4. 直線Ａ１Ａ２と平行な直線Ａ３Ｎ。
5. 点 A4 を通り、直線 A1A2 に垂直な平面。

計算します:

1. 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦。
2. 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦。

a) 平面 A1A2A3 の方程式:

ベクトル A1A2 と A1A3 のベクトル積を求めてみましょう。

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]

この場合、平面の方程式は A1A2A3 となります。

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

または

\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]

b) 直線 A1A2 の方程式:

直線 A1A2 の方向ベクトルを見つけてみましょう。

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}。 \]

次に、直線 A1A2 の方程式は次のようになります。

\[ \begin{件} x = 4 + 3t、\\ y = 4 + 6t、\\ z = 10 - 8t。 \end{件} \]

c) 直線 A4M の方程式:

直線Ａ４Ｍは平面Ａ１Ａ２Ａ３に垂直であるため、直線Ａ４Ｍの方向ベクトルは平面Ａ１Ａ２Ａ３の法線ベクトルと同一線上になければならない。この法線ベクトルを見つけてみましょう。

\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}。 \]

点 A4 を通る直線 MA4 は次の方程式を持ちます。

\[ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} \ 】

ここで$

№1.12

4 つの点 A1(4;4;10) が与えられるとします。 A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9)。方程式を作成します。

1. 面 A1 A2 A3。
2. ストレートA1A2。
3. 直線A4M、平面A1A2A3に垂直。
4. 直線Ａ１Ａ２と平行な直線Ａ３Ｎ。
5. 点 A4 を通り、直線 A1A2 に垂直な平面。

計算します:

1. 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦。
2. 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦。

a) 平面 A1A2A3 の方程式:

ベクトル A1A2 と A1A3 のベクトル積を求めてみましょう。

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]

この場合、平面の方程式は A1A2A3 となります。

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

または

\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]

b) 直線 A1A2 の方程式:

直線 A1A2 の方向ベクトルを見つけてみましょう。

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}。 \]

次に、直線 A1A2 の方程式は次のようになります。

\[ \begin{cases} x = 4 + 3t、\\ y = 4 + 6t、\\ z = 10 - 8t。 \end{件} \]

c) 直線 A4M の方程式:

直線Ａ４Ｍは平面Ａ１Ａ２Ａ３に垂直であるため、直線Ａ４Ｍの方向ベクトルは平面Ａ１Ａ２Ａ３の法線ベクトルと同一線上になければならない。この法線ベクトルを見つけてみましょう。

\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}。 \]

点 A4 を通る直線 MA4 は次の方程式を持ちます。

\[ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} \ 】

ここで $k_

№1.12

4 つの点があります: A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9)。必要：

1. 点A1、A2、A3を通る平面の方程式を求めます。
2. 直線 A1A2 の方程式を求めます。
3. 平面 A1A2A3 に垂直で点 A4 を通る直線 A4M の方程式を求めます。
4. 直線 A1A2 に平行な直線 A3N の方程式を求めます。
5. 点A4を通り、直線A1A2に垂直な平面の方程式を求めます。

次のことも計算する必要があります。

1. 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦。
2. 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦。

a) 平面 A1A2A3 の方程式:

ベクトル A1A2 と A1A3 のベクトル積を求めてみましょう。

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]

この場合、平面の方程式は A1A2A3 となります。

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

または

\[3x - 13y - 9z + 71 = 0.\]

b) 直線 A1A2 の方程式:

直線 A1A2 の方向ベクトルを見つけてみましょう。

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}。 \]

次に、直線 A1A2 の方程式は次のようになります。

\[ \begin{cases} x = 4 + 3t、\\ y = 4 + 6t、\\ z = 10 - 8t。 \end{件} \]

c) 直線 A4M の方程式:

直線 A4M は平面 A1A2A3 に垂直であるため、直線 A4M の方向ベクトルは平面 A1A2A3 の法線ベクトルと同一直線上にある必要があります。この法線ベクトルを見つけてみましょう。

\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}。 \]

点 A4 を通る直線 MA4 は次の方程式を持ちます。

\[ \begin{cases} x

この演習では、指定された 3 つの点を通過する平面、指定された 2 つの点を通過する直線、および指定された点を通過する平面に垂直な直線の方程式を見つける必要があります。また、与えられた直線に平行な直線の方程式と、与えられた直線に垂直で与えられた点を通る平面の方程式も求める必要があります。さらに、指定されたオブジェクト間の角度のサインとコサインを計算する必要があります。

a) 平面 A1A2A3 の方程式: ベクトル A1A2 と A1A3 のベクトル積を求めてみましょう。 [ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 7-4 & 10-4 & 2-10 \ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} ] この場合、平面の方程式は A1A2A3 となります。 [ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0. ] または [ 3x - 13y - 9z + 71 = 0. ]

b) 直線 A1A2 の方程式: 直線 A1A2 の方向ベクトルを見つけてみましょう。 [ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\vec {j} - 8\vec{k}。 】 次に、直線 A1A2 の方程式は次のようになります。 [ \begin{cases} x = 4 + 3t、\ y = 4 + 6t、\ z = 10 - 8t。 \end{件} ]

c) 直線 A4M の方程式: 直線Ａ４Ｍは平面Ａ１Ａ２Ａ３に垂直であるため、直線Ａ４Ｍの方向ベクトルは平面Ａ１Ａ２Ａ３の法線ベクトルと同一線上になければならない。この法線ベクトルを見つけてみましょう。 [ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}。 】 点 A4 を通る直線 MA4 は次の方程式を持ちます。 [ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} ] $k_1$ は任意のパラメータです。

d) 直線 A3N の方程式: 直線 A3N は直線 A1A2 に平行であるため、同じ方向ベクトルを持ちます。 [ \overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}。 】 点 A3 を通る直線 A3N は次の方程式を持ちます。 [ \begin{cases} x = 2 + 3t、\ y = 8 + 6t、\ z = 4 - 8t。 \end{件} ]

e) 点 A4 を通り、直線 A1A2 に垂直な平面の方程式: 直線 A1A2 の方向ベクトルは前の段落ですでに求められています: $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$。目的の平面に対する法線ベクトルは、この方向ベクトルに対して垂直でなければなりません。つまり、座標 、6、-8$ を持つ必要があります。この場合、目的の平面の方程式は次の形式になります。 [ 3(x-9) + 6(y-6) - 8(z-9) = 0. ] または [ 3x + 6y - 8z - 9 = 0. ]

f) 直線 A1A2 と A3N の間の角度のサインとコサイン: 直線 A1A2 と A3N の方向ベクトルは、それぞれ $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$ と $\overrightarrow{A_1A_3} = 3 に等しくなります。 \vec{i} + 2\vec{j} - 8\vec{k}$。それらのスカラー積は次のようになります。 [ \overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3} = 3 \cdot 3 + 6 \cdot 2 + (-8) \cdot (-8) = 83. ] ベクトルの長さは次のとおりです。 [ |\overrightarrow{A_1A_2}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-8)^2} = \sqrt{109}, ] [ |\overrightarrow{A_1A_3}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{77}。 】 次に、直線間の角度の正弦は、次の式を使用して計算できます。 [ \sin\alpha = \frac{|\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}|}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{\sqrt{77}}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{\sqrt{77}}{77}。 】 直線間の角度の余弦は次と等しくなります。 [ \cos\alpha = \frac{\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3}}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{83}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{83\sqrt{77}}{847}。 】

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