Ryabushko A.P. IDZ 3.1 verze 12

№1.12

Jsou dány čtyři body A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Sestavte rovnice:

1. roviny A1 A2 A3;
2. přímý A1A2;
3. přímka A4M, kolmá k rovině A1A2A3;
4. přímka A3N rovnoběžná s přímkou ​​A1A2;
5. rovina procházející bodem A4, kolmá k přímce A1A2.

Vypočítat:

1. sinus úhlu mezi přímkou ​​A1A4 a rovinou A1A2A3;
2. kosinus úhlu mezi rovinou souřadnic Oxy a rovinou A1A2A3.

a) Rovnice roviny A1A2A3:

Pojďme najít vektorový součin vektorů A1A2 a A1A3:

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\věc{i} - 26\věc{j} - 18\věc{k} \]

Pak rovnice roviny je A1A2A3:

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

nebo

\[3x - 13r - 9z + 71 = 0.\]

b) Rovnice přímky A1A2:

Pojďme najít směrový vektor přímky A1A2:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\věc{i} + (10 - 4)\věc{j} + (2 - 10)\věc{k} = 3\věc{i} + 6\ věc {j} - 8\věc{k}. \]

Pak rovnice přímky A1A2:

\[ \begin{cases} x = 4 + 3t, ​​\\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{cases} \]

c) Rovnice přímky A4M:

Protože přímka A4M je kolmá k rovině A1A2A3, směrový vektor přímky A4M musí být kolineární s normálovým vektorem k rovině A1A2A3. Pojďme najít tento normální vektor:

\[ \věc{n} = 6\věc{i} - 26\věc{j} - 18\věc{k}. \]

Přímka MA4 procházející bodem A4 má rovnici:

\[ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} \ ]

kde $

№1.12

Jsou dány čtyři body A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Sestavte rovnice:

1. roviny A1 A2 A3;
2. přímý A1A2;
3. přímka A4M, kolmá k rovině A1A2A3;
4. přímka A3N rovnoběžná s přímkou ​​A1A2;
5. rovina procházející bodem A4, kolmá k přímce A1A2.

Vypočítat:

1. sinus úhlu mezi přímkou ​​A1A4 a rovinou A1A2A3;
2. kosinus úhlu mezi rovinou souřadnic Oxy a rovinou A1A2A3.

a) Rovnice roviny A1A2A3:

Pojďme najít vektorový součin vektorů A1A2 a A1A3:

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\věc{i} - 26\věc{j} - 18\věc{k} \]

Pak rovnice roviny je A1A2A3:

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

nebo

\[3x - 13r - 9z + 71 = 0.\]

b) Rovnice přímky A1A2:

Pojďme najít směrový vektor přímky A1A2:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\věc{i} + (10 - 4)\věc{j} + (2 - 10)\věc{k} = 3\věc{i} + 6\ věc {j} - 8\věc{k}. \]

Pak rovnice přímky A1A2:

\[ \begin{cases} x = 4 + 3t, ​​\\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{cases} \]

c) Rovnice přímky A4M:

Protože přímka A4M je kolmá k rovině A1A2A3, směrový vektor přímky A4M musí být kolineární s normálovým vektorem k rovině A1A2A3. Pojďme najít tento normální vektor:

\[ \věc{n} = 6\věc{i} - 26\věc{j} - 18\věc{k}. \]

Přímka MA4 procházející bodem A4 má rovnici:

\[ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} \ ]

kde $k_

№1.12

Jsou čtyři body: A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Nezbytné:

1. Najděte rovnici roviny procházející body A1, A2, A3.
2. Najděte rovnici přímky A1A2.
3. Najděte rovnici přímky A4M, která je kolmá k rovině A1A2A3 a prochází bodem A4.
4. Najděte rovnici přímky A3N rovnoběžné s přímkou ​​A1A2.
5. Najděte rovnici roviny procházející bodem A4 a kolmé k přímce A1A2.

Musíte také vypočítat:

1. sinus úhlu mezi přímkou ​​A1A4 a rovinou A1A2A3;
2. kosinus úhlu mezi rovinou souřadnic Oxy a rovinou A1A2A3.

a) Rovnice roviny A1A2A3:

Pojďme najít vektorový součin vektorů A1A2 a A1A3:

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\věc{i} - 26\věc{j} - 18\věc{k} \]

Pak rovnice roviny je A1A2A3:

\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]

nebo

\[3x - 13r - 9z + 71 = 0.\]

b) Rovnice přímky A1A2:

Pojďme najít směrový vektor přímky A1A2:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\věc{i} + (10 - 4)\věc{j} + (2 - 10)\věc{k} = 3\věc{i} + 6\ věc {j} - 8\věc{k}. \]

Pak rovnice přímky A1A2:

\[ \begin{cases} x = 4 + 3t, ​​\\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t. \end{cases} \]

c) Rovnice přímky A4M:

Protože přímka A4M je kolmá k rovině A1A2A3, směrový vektor přímky A4M musí být kolineární s vektorem normály k rovině A1A2A3. Pojďme najít tento normální vektor:

\[ \věc{n} = 6\věc{i} - 26\věc{j} - 18\věc{k}. \]

Přímka MA4 procházející bodem A4 má rovnici:

\[ \begin{cases} x

V tomto cvičení potřebujete najít rovnice roviny procházející třemi danými body, přímky procházející dvěma danými body a přímky kolmé k rovině a procházející daným bodem. Dále je nutné najít rovnici přímky rovnoběžné s danou přímkou ​​a rovnici roviny kolmé k dané přímce a procházející daným bodem. Navíc je potřeba vypočítat sinus a kosinus úhlů mezi danými objekty.

a) Rovnice roviny A1A2A3: Pojďme najít vektorový součin vektorů A1A2 a A1A3: [ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 7-4 & 10-4 & 2-10 \ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} ] Pak rovnice roviny je A1A2A3: [ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0. ] nebo [ 3x - 13y - 9z + 71 = 0. ]

b) Rovnice přímky A1A2: Pojďme najít směrový vektor přímky A1A2: [ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\vec {j} - 8\vec{k}. ] Pak rovnice přímky A1A2: [ \begin{cases} x = 4 + 3t, ​​​​\y = 4 + 6t, \ z = 10 - 8t. \end{cases} ]

c) Rovnice přímky A4M: Protože přímka A4M je kolmá k rovině A1A2A3, směrový vektor přímky A4M musí být kolineární s normálovým vektorem k rovině A1A2A3. Pojďme najít tento normální vektor: [ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}. ] Přímka MA4 procházející bodem A4 má rovnici: [ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} ] kde $k_1$ je libovolný parametr.

d) Rovnice přímky A3N: Protože přímka A3N je rovnoběžná s přímkou ​​A1A2, má stejný směrový vektor: [ \overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}. ] Přímka A3N procházející bodem A3 má rovnici: [ \begin{cases} x = 2 + 3t, ​​​​\y = 8 + 6t, \ z = 4 - 8t. \end{cases} ]

e) Rovnice roviny procházející bodem A4 a kolmé k přímce A1A2: Směrový vektor přímky A1A2 byl již nalezen v předchozím odstavci: $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$. Normální vektor k požadované rovině musí být kolmý na tento směrový vektor, to znamená, že musí mít souřadnice , 6, -8$. Pak rovnice požadované roviny má tvar: [ 3(x-9) + 6(y-6) - 8(z-9) = 0, ] nebo [ 3x + 6y - 8z - 9 = 0. ]

f) Sinus a kosinus úhlu mezi přímkami A1A2 a A3N: Směrové vektory přímek A1A2 a A3N se rovnají $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$ a $\overrightarrow{A_1A_3} = 3 \vec{i} + 2\vec{j} - 8\vec{k}$. Jejich skalární součin se rovná: [ \overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3} = 3 \cdot 3 + 6 \cdot 2 + (-8) \cdot (-8) = 83. ] Délky vektorů jsou: [ |\overrightarrow{A_1A_2}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-8)^2} = \sqrt{109}, ] [ |\overrightarrow{A_1A_3}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{77}. ] Potom lze sinus úhlu mezi přímkami vypočítat pomocí vzorce: [ \sin\alpha = \frac{|\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}|}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{\sqrt{77}}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{\sqrt{77}}{77}. ] A kosinus úhlu mezi přímkami je roven: [ \cos\alpha = \frac{\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3}}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{83}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{83\sqrt{77}}{847}. ]

***

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 verze 12 je vzdělávací úkol nebo test z kurzu „Informatika a programování“, vyvinutý autorem Ryabushko A.P. Možnost 12 představuje jednu možnou sadu položek, které mohou být součástí této verze testu. Úkoly mohou zahrnovat různá témata související s informatikou a programováním, jako jsou algoritmy, datové struktury, programovací jazyky atd. V závislosti na konkrétní možnosti mohou být úkoly různě složité a vyžadovat různé úrovně znalostí. Řešení úloh z IDZ 3.1 verze 12 může studentům pomoci upevnit a otestovat znalosti z oblasti informatiky a programování.

***

1. Řešení IDZ 3.1 možnost 12 od Ryabushko A.P. je skvělý digitální produkt pro studenty, kteří se učí programovat.
2. Zakoupil jsem si IDZ 3.1 verze 12 a byl jsem příjemně překvapen jeho obsahem a kvalitou.
3. Řešení IPD 3.1 verze 12 mi pomohlo lépe pochopit programovací materiál díky jeho přehledné prezentaci a užitečným příkladům.
4. Ryabushko A.P. vytvořil skvělý digitální produkt, který mi pomohl úspěšně dokončit programovací úkol.
5. IDZ 3.1 verze 12 je nepostradatelným zdrojem pro studenty, kteří se učí programovat a chtějí zlepšit své znalosti.
6. Doporučuji IDZ 3.1 verze 12 od Ryabushko A.P. každý, kdo si chce rozšířit své znalosti v oblasti programování.
7. Řešení IDS 3.1 verze 12 je skvělý digitální produkt, který mi umožnil lépe porozumět konceptům programování a dosahovat lepších známek na univerzitě.

Zvláštnosti:

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 verze 12 je skvělý digitální produkt pro ty, kteří se učí programovat.

S pomocí IDZ 3.1 verze 12 se můžete snadno a rychle naučit novým dovednostem v programování.

Tento digitální produkt obsahuje mnoho užitečných materiálů, které vám pomohou zlepšit vaše programovací dovednosti.

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 verze 12 je vynikající volbou pro ty, kteří chtějí zlepšit své znalosti v oblasti informatiky.

Pokud hledáte efektivní způsob, jak zlepšit své programátorské dovednosti, pak je IPD 3.1 Option 12 perfektní volbou.

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 verze 12 je spolehlivý a vysoce kvalitní digitální produkt, který vám pomůže dosáhnout úspěchu v programování.

Tento digitální produkt obsahuje mnoho praktických úkolů, které vám pomohou upevnit vaše znalosti v programování.