IDZ Ryabushko 3.2 Opção 26

Para resolver o problema é necessário utilizar fórmulas e propriedades de formas geométricas.

Nº 1 Vértices dados ∆ABC: ​​​​A(0;2); B(–7,–4); C(3;2). Encontrar:

a) Equação do lado AB:

Vamos encontrar os coeficientes da equação de uma reta que passa pelos pontos A e B.

O ângulo de inclinação da linha reta k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-4 - 2) / (-7 - 0) = 2/7.

Equação linear da forma y - y1 = k(x - x1), onde (x1; y1) são as coordenadas do ponto A:

y - 2 = 2/7(x - 0),

7y - 14 = 2x,

equação do lado AB: 2x - 7y + 14 = 0.

b) Equação da altura CH:

A altura CH é uma perpendicular que cai do vértice C ao lado AB.

Vamos encontrar as coordenadas do ponto H - a base da altura CH. Para isso, resolvemos o sistema de equações das retas AB e CH passando pelos pontos correspondentes:

2x - 7y + 14 = 0,

x + 3y - 9 = 0.

Tendo resolvido o sistema, encontramos H(3; 1).

A equação de uma linha reta que passa pelos pontos C e H tem a forma y - y1 = k(x - x1), onde (x1; y1) são as coordenadas do ponto C:

y - 2 = -7/3(x - 3),

7x + 3y - 23 = 0.

Equação da altura CH: 7x + 3y - 23 = 0.

(c) A equação para mídia é:

A mediana AM é um segmento de reta que conecta o vértice A ao meio do lado BC.

Vamos encontrar as coordenadas do ponto M - meio do lado BC. Para fazer isso, encontramos a média aritmética das coordenadas dos pontos B e C:

xM = (xB + xC) / 2 = (-7 + 3) / 2 = -2,

yM = (yB + yC) / 2 = (-4 + 2) / 2 = -1.

O ponto M possui coordenadas (-2; -1).

Equação de uma reta que passa pelos pontos A e M:

y - y1 = k(x - x1), onde (x1; y1) são as coordenadas do ponto A:

y - 2 = 1/2(x - 0),

x - 2y + 4 = 0.

A equação do meio é: x - 2y + 4 = 0.

d) Ponto N de intersecção da mediana AM e altura CH:

Vamos encontrar o ponto de intersecção da mediana e da altura resolvendo o sistema de equações das retas AM e CN passando pelos pontos correspondentes:

x - 2y + 4 = 0,

7x + 3y - 23 = 0.

Resolvido o sistema, encontramos o ponto N(3; 1).

e) Equação de uma reta que passa pelo vértice C e paralela ao lado AB:

Uma linha que passa pelo ponto C e paralela ao lado AB tem o mesmo ângulo de inclinação k = 2/7 do lado AB.

Equação linear da forma y - y1 = k(x - x1), onde (x1; y1) são as coordenadas do ponto C:

y - 2 = 2/7(x - 3),

2x - 7y + 20 = 0.

A equação de uma reta que passa pelo ponto C e paralela ao lado AB: 2x - 7y + 20 = 0.

e) Distância do ponto C à linha AB:

A distância d do ponto C à linha AB pode ser encontrada usando a fórmula:

d = |Ax0 + By0 + C| /sqrt(A^2 + B^2),

onde A, B, C são os coeficientes da equação da reta na forma geral Ax + By + C = 0, x0, y0 são as coordenadas do ponto C.

Substituindo os valores dos coeficientes e coordenadas do ponto C, obtemos:

d = |2*3 - 7*2 + 14| /sqrt(2^2 + (-7)^2) = 6 /sqrt(53).

A distância do ponto C à linha AB é 6/sqrt(53).

Nº 2 São conhecidas as equações dos dois lados de um losango: 2x – 5y – 1 = 0 e 2x – 5y – 34 = 0 e a equação de uma de suas diagonais x + 3y – 6 = 0. Encontre a equação do segunda diagonal.

Vamos determinar as coordenadas dos vértices do losango. Para fazer isso, encontramos os pontos de intersecção dos lados do losango.

Vamos resolver o sistema de equações de retas que definem os lados de um losango:

2x - 5y - 1 = 0,

2x - 5y - 34 = 0.

Resolvido o sistema, encontramos as coordenadas dos pontos de intersecção dos lados do losango: (-3; -1) e (5; 3).

Considere a diagonal do losango que passa pelos pontos (-3; -1) e (5; 3). Sua equação:

y - y1 = k(x - x1), onde (x1; y1) são as coordenadas de um dos vértices:

y + 1 = 1/2(x + 3),

y = 1/2x + 5/2.

Como as diagonais de um losango se cruzam em ângulos retos, a equação da segunda diagonal pode ser encontrada usando a propriedade da perpendicularidade.

Coeficiente de ângulo de inclinação segundo d

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