裡亞布希科 A.P. IDZ 3.1 選項 6

1.6 號。給定四點 A1(0;7;1); A2(2;–1;5); A3(1;6;3); A4(3;–9;8)。必要的：

a) 建立平面 A1A2A3 的方程式；

b) 畫出直線A1A2方程式；

c) 畫出垂直於平面A1A2A3的直線A4M的方程式；

d) 建立與直線 A1A2 平行的直線 A3N 的方程式；

e) 建立穿過點 A4 並垂直於直線 A1A2 的平面方程式；

f) 計算直線A1A4與平面A1A2A3之間夾角的正弦；

g) 計算座標平面Oxy與平面A1A2A3之間的夾角的餘弦。

a) 為了編譯平面 A1A2A3 的方程，我們找出位於該平面上的兩個向量的向量積：

$\overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix}2 \ -8 \ 4\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}1 \ -1 \ 2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

因此，平面 A1A2A3 的方程式具有以下形式：

$14x + 2y + 18z - 56 = $0

b) 為了寫出直線 A1A2 的方程，我們將使用直線方程的參數形式：

$x = 0 + 2t = 2t$

$y = 7 - 8t$

$z = 1 + 4t$

d) 為了構造與直線 A1A2 平行的直線 A3N 的方程，我們使用其參數形式：

$x = 1 + 2t$

$y = 6 - 7t$

$z = 3 + 2t$

e) 為了寫出穿過點 A4 並垂直於線 A1A2 的平面方程，我們找到一個垂直於該線的向量：

$\overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix}2 \ -8 \ 4\end{pmatrix}$

由於所需平面垂直於向量 $\overrightarrow{A_1A_2}$，因此其方程式的形式為：

$2x - 8y + 4z + d = 0$

為了確定係數 d，我們將點 A4 的座標代入方程式：

$2\cdot3 - 8\cdot(-9) + 4\cdot8 + d = 0$

$d = -14$

因此，所需平面的方程式具有以下形式：

$2x - 8y + 4z - 14 = $0

c) 為了寫出垂直於平面 A1A2A3 的直線 A4M 的方程，我們找出位於該平面上的向量：

$\overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatrix}2 \ -8 \ 4\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}1 \ -1 \ 2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

由於所需直線垂直於向量 $\overrightarrow{n}$，因此其方向向量具有以下形式：

$\overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix}x_A - x_M \ y_A - y_M \ z_A - z_M\end{pmatrix}$

其中點 M 位於線 A4M 上。由於直線 A4M 垂直於平面 A1A2A3，因此向量 $\overrightarrow{AM}$ 必須平行於向量 $\overrightarrow{n}$：

$\overrightarrow{AM} = t \cdot \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

因此，A4M 線的方程式具有以下形式：

$x = 3 + 14t$

$y = -9 + 2t$

$z = 8 + 18t$

f) 要計算直線 A1A4 和平面 A1A2A3 之間的角度的正弦值，需要找到平行於直線 A1A4 的向量和垂直於平面 A1A2A3 的向量的標量積：

$\overrightarrow{A_1A_4} = \begin{pmatrix}3 \ -16 \ 7\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

$|\overrightarrow{A_1A_4}| = \sqrt{3^2 + (-16)^2 + 7^2} = \sqrt{314}$

$|\overrightarrow{n}| = \sqrt{14^2 + 2^2 + 18^2} = \sqrt{380}$

由於向量之間的角度的正弦定義為向量的標量積與其模積的比率，因此該角度的正弦等於：

$\sin{\alpha} = \frac{\overrightarrow{A_1A_4} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A_1A_4}| \cdot |\overrightarrow{n}|} = \frac{28}{\sqrt{314} \cdot \sqrt{380}} \約 0.425$

g) 要計算座標平面 Oxy 與平面 A1A2A3 之間的角度的餘弦，需要找到垂直於平面 A1A2A3 且位於 Oxy 平面內的向量與垂直於 Oxy 平面的向量的標量積位於 A1A2A3 平面上：

$\overrightarrow{n_1} = \begin{pmatrix}0 \ 0 \ 1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \begin{pmatrix}0 \ 0 \ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 \ 2 \ 0\end{pmatrix}$

$|\overrightarrow{n_1}| = 1$

$|\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{(-8)^2 + 2^2} = 2\sqrt{17}$

由於向量之間的角度的餘弦是

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裡亞布希科 A.P. IDZ 3.1 選項 6 是一個由多個點組成的幾何任務。

1.6 號。給定三維空間中的四個點，您需要為穿過這些點的平面和直線建立方程，並計算其中一些點之間角度的正弦和餘弦。

第 2.6 號。需要為穿過兩個給定點並平行於所選座標軸的平面建立方程式。

第 3.6 號。需要找到給定線平行時的參數值。

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