地表における空気分子の濃度 n = 2

この問題を解決するには、特定の分子濃度に対応する空気の垂直柱の高さを決定する必要があります。これを行うには、理想気体の状態方程式を使用します。

pV = nRT、

ここで、p はガスの圧力、V はその体積、R はユニバーサルガス定数、n と T はそれぞれ分子の数と温度です。

この方程式を次のように書き換えてみましょう。

n = pV/(RT)。

N と T の値がわかっているので、地表の空気の濃度に対応する圧力を決定できます。

n = 2.7*10^25 m^-3、

T = 300K。

圧力を計算してみましょう。

p = nRT/V。

底面積 S = 1 m^2 の垂直の空気柱の体積は、次のようになります。

V = SH、

ここで、H は柱の高さです。

これで、無限の高さの垂直柱内の空気分子の数を計算できます。

N = nV = nSH = nS(H_最大 -H_分),

ここで、H_最大 そしてH_分 - 圧力 p に対応する最大および最小のカラム高さ_分 そして、p_最大 それぞれ。無限列を考えているので、H であると仮定できます。_最大 = 無限大、および H_分 = 0.

次に、無限の高さの垂直柱内の空気分子の数は次のようになります。

N = nS(H_最大 -H_分) = nS(H_最大) = nS(p_分/(ng)) = (2.7*10^25 m^-3)(1 m^2)(101325 Pa)/(1.38*10^-23 J/K*300K*9.81 m/s^2) = 2.5 *10^48 分子。

したがって、底面積 S = 1 m^2 の無限の高さの垂直柱内の空気分子の総数は、2.5*10^48 分子に等しくなります。

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この問題を解決するには、理想気体の状態方程式、pV = nRT を使用する必要があります。ここで、p はガスの圧力、V はその体積、R は普遍気体定数、n と T は気体の数です。それぞれ分子と温度。この方程式を n = pV/(RT) の形式に書き直してみましょう。 n と T の値は既知であるため、地表の空気の濃度に対応する圧力を決定することができます: n = 2.7*10^25 m^-3、T = 300K。圧力を計算しましょう: p = nRT/V。

底面積 S = 1 m^2 の垂直な空気柱の体積は、V = SH に等しくなります。ここで、H は柱の高さです。ここで、無限の高さの垂直柱内の空気分子の数を計算できます: N = nV = nSH = nS(Hmax - Hmin)。ここで、Hmax と Hmin は柱の最大高さと最小高さで、圧力 pmin と圧力 pmin に対応します。それぞれpmax。無限の柱を考えているので、Hmax = 無限大、Hmin = 0 と仮定できます。すると、無限の高さの垂直柱内の空気分子の数は次のようになります: N = nS(Hmax - Hmin) = nS(Hmax) = nS (pmin/(ng )) = (2.710^25m^-3)(1m^2)(101325Pa)/(1.3810^-23 J/K300K9.81 m/s^2) = 2.5*10^48 分子。

したがって、底面積 S = 1 m^2 の無限の高さの垂直柱内の空気分子の総数は、2.5*10^48 分子に等しくなります。

このタスクは、学生、教師、エンジニア、物理や数学に興味のある人など、幅広いユーザーが使用できます。これを解くことで、理想気体の動作原理をより深く理解できるだけでなく、気体力学や熱力学の分野の実践的な問題で得た知識を応用することができます。

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地球の表面における空気分子の濃度は n = 2.7*10^25 m^-3 で、空気の垂直柱の底面積は S = 1 m^2 です。温度 T = 300 K における無限の高さの垂直柱内の空気分子の総数を決定する必要があります。

この問題では、理想気体の状態方程式を使用できます。

pV = nRT、

ここで、p はガスの圧力、V はその体積、n はガス分子の数、R は普遍ガス定数、T はガスの温度です。

この方程式を変形すると、気体分子の数を表す式が得られます。

n = pV / RT。

垂直柱内の空気分子の総数を見つけるには、この柱を厚さ dh の微小な層に分割し、各層の分子の数を計算する必要があります。次に、結果の値をゼロから無限大まで統合する必要があります。

各層について、海面の圧力に等しいガス圧力、つまりp = 1 atm = 1.01*10^5 Pa。

各層の体積は S*dh に等しく、温度は一定のまま T = 300 K に等しくなります。

したがって、各層の分子の数は次の式で表すことができます。

dn = (pSd) / RT、

そして、垂直列内の分子の総数は次と等しくなります。

N = ∫(0→∞) dn = ∫(0→∞) (pSdh) / RT = (p*S / RT) * ∫(0→∞) dh。

気柱の高さは無限大であるため、積分 ∫(0→∞)dh は発散します。ただし、各層の分子の数は高さとともに減少し、その体積が増加することがわかります。したがって、上層の分子の数は、海面の分子の数の一定の割合として推定できます。

上層の分子数が海面の分子数の割合 ε に等しいと仮定します。この場合、垂直列内の分子の総数は次のようになります。

N = (pS / RT) * ∫(0→h) dh + εn*S、

ここで、h は垂直柱の上境界の高さです。

Ε の値は、上層の分子数と下層の分子数を比較することで推定できます。これを行うには、高さギャップ dh で区切られた下部と上部の 2 つの層を取得し、その中の分子の数を比較します。空気の密度は高さとともに減少すること、つまり単位体積あたりの分子数も減少することを考慮する必要があります。

したがって、底面積 S = 1 m^2、温度 T = 300 での海面での分子の濃度 n = 2.7 * 10^25 m^-3 の無限の高さの垂直柱内の空気分子の総数は、 K は次のように推定できます。

1. 理想気体の状態方程式を使用して、海面にある下層の分子の数を計算します。

n_0 = pS / RT = (1.0110^5 Pa) * (1 m^2) / (8.31 J/(molK) * 300 K) ≈ 4.0710^25m^-3。

1. 海面の分子数の割合 ε を取得して、上層の分子数を推定します。これを行うには、2 つの層 (下層と上層) の分子の数を計算し、それらを比較します。

n_0 = pS / RT = (1.0110^5 Pa) * (1 m^2) / (8.31 J/(molK) * 300 K) ≈ 4.0710^25m^-3、

n_1 = pS / RT = (1.0110^5 Pa) * (1 m^2) / (8.31 J/(molK) * 301 K) ≈ 4.0510^25m^-3。

見てわかるように、上層の分子の数は下層よりもわずかに少なくなっています。 ε を n_1 と n_0 の比率に等しいものとします。つまり、次のようになります。

ε = n_1 / n_0 ≈ 0.9985。

1. 上層の分子数の推定値を使用し、下層の分子数をゼロから柱の最上部の高さまで積分して、垂直柱内の分子の総数を求めます。

N = ∫(0→h) (pSd) / RT + εn_0S、

ここで、p = 1.0110^5 Pa - 海面での圧力、S = 1 m^2 - 柱の底面積、R = 8.31 J/(molK) - 普遍的な気体定数。

統合すると次の結果が得られます。

N = (pS / RT) * h + εn_0*S.

数値を代入すると、次のようになります。

N = (1,0110^5 Pa * 1 m^2 / (8.31 J/(molK) * 300 K)) * h + 0.9985 * 4.0710^25m^-3 * 1m^2 ≈ 1.3810^26 分子。

したがって、底面積 S = 1 m^2、海面での分子濃度 n = 2.7 の無限の高さの垂直柱内の空気分子の総数は、温度 T = 300 K での 10^25 m^-3 は約 1.3810^26 分子。

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