지구 표면의 공기 분자 농도 n = 2

이 문제를 해결하려면 주어진 분자 농도에 해당하는 공기 수직 기둥의 높이를 결정해야 합니다. 이를 위해 이상 기체의 상태 방정식을 사용합니다.

pV = nRT,

여기서 p는 가스 압력, V는 부피, R은 보편적 가스 상수, n과 T는 각각 분자 수와 온도입니다.

이 방정식을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

n = pV/(RT).

N과 T의 값이 있으므로 지구 표면의 공기 농도에 해당하는 압력을 결정할 수 있습니다.

n = 2.7*10^25m^-3,

T = 300K.

압력을 계산해 봅시다:

p = nRT/V.

밑면적 에스 = 1m^2인 수직 공기 기둥의 부피는 다음과 같습니다.

V = 에스H,

여기서 H는 기둥의 높이입니다.

이제 우리는 무한 높이의 수직 기둥에 있는 공기 분자의 수를 계산할 수 있습니다.

N = nV = n에스H = nS(H_최대 - 시간_분),

여기서 H_최대 그리고 H_분 - 압력 p에 해당하는 최대 및 최소 기둥 높이_분 그리고 피_최대 각기. 무한 열을 고려하고 있기 때문에 H_최대 = 무한대, H_분 = 0.

그러면 무한한 높이의 수직 기둥에 있는 공기 분자의 수는 다음과 같습니다.

N = nS(H_최대 - 시간_분) = nS(H_최대) = nS(p_분/(ng)) = (2.7*10^25m^-3)(1m^2)(101325Pa)/(1.38*10^-23J/K*300K*9.81m/s^2) = 2.5 *10^48 분자.

따라서 기본 면적 S = 1m^2인 무한 높이의 수직 기둥에 있는 공기 분자의 총 수는 2.5*10^48개의 분자와 같습니다.

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문제를 해결하려면 이상 기체의 상태 방정식을 사용해야 합니다. pV = nRT, 여기서 p는 기체의 압력, V는 부피, R은 보편적 기체 상수, n과 T는 분자 수와 온도. 이 방정식을 n = pV/(RT) 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. n과 T의 값이 알려져 있으므로 지구 표면의 공기 농도에 해당하는 압력을 결정할 수 있습니다. n = 2.7*10^25 m^-3, T = 300K. 압력을 계산해 봅시다: p = nRT/V.

밑면적 S = 1m^2인 수직 공기 기둥의 부피는 V = SH와 같습니다. 여기서 H는 기둥의 높이입니다. 이제 우리는 무한 높이의 수직 기둥에 있는 공기 분자의 수를 계산할 수 있습니다: N = nV = nSH = nS(Hmax - Hmin), 여기서 Hmax와 Hmin은 압력 pmin 및 pmin에 해당하는 기둥의 최대 및 최소 높이입니다. 각각 pmax. 무한 기둥을 고려하고 있기 때문에 Hmax = 무한대, Hmin = 0이라고 가정할 수 있습니다. 그러면 무한 높이의 수직 기둥에 있는 공기 분자의 수: N = nS(Hmax - Hmin) = nS(Hmax) = nS (pmin/(ng)) = (2.710^25m^-3)(1m^2)(101325Pa)/(1.3810^-23 J/K30만9.81m/s^2) = 2.5*10^48 분자.

따라서 기본 면적 S = 1m^2인 무한 높이의 수직 기둥에 있는 공기 분자의 총 수는 2.5*10^48개의 분자와 같습니다.

이 작업은 학생, 교사, 엔지니어 및 물리학과 수학에 관심이 있는 모든 사람을 포함하여 광범위한 사용자가 사용할 수 있습니다. 이를 해결함으로써 이상기체의 작동 원리를 더 잘 이해할 수 있을 뿐만 아니라 기체 역학 및 열역학 분야의 실제 문제에서 얻은 지식을 적용할 수 있습니다.

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지구 표면의 공기 분자 농도는 n = 2.7*10^25m^-3이고, 공기 수직 기둥의 밑면적은 S = 1m^2입니다. 온도 T = 300K에서 무한 높이의 수직 기둥에 있는 공기 분자의 총 수를 결정하는 것이 필요합니다.

이 문제에서는 이상 기체의 상태 방정식을 사용할 수 있습니다.

pV = nRT,

여기서 p는 가스 압력, V는 부피, n은 가스 분자 수, R은 보편적인 가스 상수, T는 가스 온도입니다.

이 방정식을 변환하면 가스 분자 수에 대한 공식을 얻을 수 있습니다.

n = pV / RT.

수직 기둥에 있는 공기 분자의 총 수를 찾으려면 이 기둥을 두께 dh의 극소 층으로 나누고 각 층의 분자 수를 계산해야 합니다. 그런 다음 결과 값을 0에서 무한대까지 통합해야 합니다.

각 층에 대해 이상 기체 상태 방정식을 사용하여 기체 압력을 해수면 압력과 동일하게 설정할 수 있습니다. p = 1기압 = 1.01*10^5Pa.

각 층의 부피는 S*dh와 동일하고 온도는 일정하게 유지되며 T = 300K와 같습니다.

따라서 각 층의 분자 수는 다음 공식으로 표현됩니다.

dn = (피Sd) / RT,

수직 열의 총 분자 수는 다음과 같습니다.

N = ∫(0→무한) dn = ∫(0→무한) (pSdh) / RT = (p*S / RT) * ∫(0→무한) dh.

공기 기둥의 높이가 무한하기 때문에 적분 ∫(0→무한대)dh는 발산됩니다. 그러나 각 층의 분자 수가 높이에 따라 감소하고 부피가 증가한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 상층의 분자 수를 해수면의 분자 수의 특정 부분으로 추정할 수 있습니다.

상층의 분자 수는 해수면의 분자 수의 분수 ε과 같다고 가정합니다. 그러면 수직 열의 총 분자 수는 다음과 같습니다.

N = (피S / RT) * ∫(0→h) dh + εn*에스,

여기서 h는 수직 기둥의 위쪽 경계 높이입니다.

Ε 값의 추정은 최상층의 분자 수와 최하층의 분자 수를 비교하여 이루어질 수 있습니다. 이를 위해 높이 간격 dh로 구분된 하단과 상단의 두 레이어를 가져와 그 안에 있는 분자 수를 비교할 수 있습니다. 공기의 밀도는 높이에 따라 감소한다는 점을 고려해야 하며, 이는 단위 부피당 분자 수도 감소한다는 것을 의미합니다.

따라서 기본 면적 S = 1m^2이고 온도 T = 300에서 해수면의 분자 농도 n = 2.7 * 10^25m^-3인 무한 높이의 수직 기둥에 있는 공기 분자의 총 수는 K는 다음과 같이 추정할 수 있습니다.

1. 이상 기체 상태 방정식을 사용하여 해수면에 위치한 하층의 분자 수를 계산합니다.

n_0 = pS / RT = (1.0110^5 Pa) * (1m^2) / (8.31 J/(molK) * 300K) ≒ 4.0710^25m^-3.

1. 해수면의 분자 수에 대한 분수 ε을 사용하여 상층의 분자 수를 추정합니다. 이를 위해 아래쪽과 위쪽의 두 층에 있는 분자 수를 계산하고 비교할 수 있습니다.

n_0 = pS / RT = (1.0110^5 Pa) * (1m^2) / (8.31 J/(molK) * 300K) ≒ 4.0710^25m^-3,

n_1 = pS / RT = (1.0110^5 Pa) * (1m^2) / (8.31 J/(molK) * 301 K) ≒ 4.0510^25m^-3.

보시다시피, 상부층의 분자 수가 하부층보다 약간 적습니다. ε을 n_1 대 n_0의 비율과 동일하게 설정하면 다음과 같습니다.

ε = n_1 / n_0 ≒ 0.9985.

1. 위쪽 층의 분자 수에 대한 추정치를 사용하고 0부터 기둥 상단 높이까지 아래쪽 층의 분자 수를 적분하여 수직 기둥의 총 분자 수를 구합니다.

N = ∫(0→h) (pSd) / RT + εn_0S,

여기서 p = 1.0110^5 Pa - 해수면 압력, S = 1 m^2 - 기둥 바닥 면적, R = 8.31 J/(molK) - 보편적인 기체 상수.

통합하면 다음과 같은 결과가 나타납니다.

N = (피S / RT) * h + εn_0*S.

숫자 값을 대체하면 다음을 얻습니다.

N = (1,0110^5 Pa * 1 m^2 / (8.31 J/(molK) * 300K)) * h + 0.9985 * 4.0710^25m^-3 * 1m^2 ≒ 1.3810^26 분자.

따라서 밑면적 S = 1m^2이고 해수면에서의 분자 농도 n = 2.7인 무한 높이의 수직 기둥에 있는 공기 분자의 총 수는 다음과 같습니다.온도 T = 300K에서 10^25m^-3은 대략 1.38입니다.10^26 분자.

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