IDZ 10.1 – Opzione 21. Soluzioni Ryabushko A.P.

1. Trovare il dominio di definizione delle funzioni specificate. 1.21 $z = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2-5}}$

La funzione è definita solo se $x^2+y^2-5>0$, poiché è impossibile ricavare la radice di un numero negativo. Pertanto, il dominio di definizione della funzione è: $D = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2>5 }$.

1. Trova le derivate parziali e i differenziali parziali delle seguenti funzioni. 2.21 $z = \frac{\sin(x+y)}{x-y}$

Derivata parziale rispetto a $x$: $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(x-y)\cos(x+y)-\sin(x+y)}{(x-y)^ 2} $

Derivata parziale rispetto a $y$: $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{(x-y)\cos(x+y)+\sin(x+y)}{(x-y)^ 2} $

Differenziale parziale: $dz = (\frac{\partial z}{\partial x})dx + (\frac{\partial z}{\partial y})dy$

1. Calcolare i valori delle derivate parziali $f'x(M0), f'y(M0), f'z(M0)$, per una data funzione $f(x, y, z)$ nel punto $M0 (x_0, y_0, z_0 )$ accurato fino a due cifre decimali. 3.21 $f(x, y, z) = 8\cdot5\sqrt{x^3+y^2+z}$, $M_0(3, 2, 1)$

Derivata parziale rispetto a $x$: $f'_x(x,y,z) = \frac{60x^2}{\sqrt{x^3+y^2+z}}$

Derivata parziale rispetto a $y$: $f'_y(x,y,z) = \frac{10y}{\sqrt{x^3+y^2+z}}$

Derivata parziale rispetto a $z$: $f'_z(x,y,z) = \frac{10}{\sqrt{x^3+y^2+z}}$

Valori delle derivate parziali nel punto $M_0(3, 2, 1)$: $f'_x(M_0) \circa 329,05$, $f'_y(M_0) \circa 51,96$, $f'_z(M_0) \circa 16,33 $.

1. Trovare i differenziali completi delle funzioni indicate. 4.21 $z = \arcsin(\frac{x+y}{x})$

Derivate parziali: $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y}{x\sqrt{1-(\frac{x+y}{x})^2}}$, $\ frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x+y}{x})^2}}$

Differenziale totale: $dz = (\frac{\partial z}{\partial x})dx + (\frac{\partial z}{\partial y})dy = -\frac{y}{x\sqrt{1 -(\frac{x+y}{x})^2}}dx + \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x+y}{x})^2}}dy$

1. Calcola il valore della derivata di una funzione complessa $u=u(x, y)$, dove $x=x(t)$, $y=y(t)$, con $t=t_0$ accurato alla seconda decimale luoghi. 5.21 $u = \sqrt{x^2+y+3}$, $x = \ln(t)$, $y = t^2$, $t_0 = 1$

Derivata rispetto a $t$: $\frac{du}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+y+3}}\cdot(2x\frac{dx}{dt}+ 2\ frac{dy}{dt})$

Sostituendo $x = \ln(t)$ e $y = t^2$, otteniamo: $\frac{du}{dt} = \frac{t^2+1}{t\sqrt{t^2+ 4 }}$

Calcolando il valore della derivata nel punto $t_0=1$, otteniamo: $\frac{du}{dt}\bigg|_{t=1} \circa 1,12$.

1. Calcolare i valori delle derivate parziali della funzione $z(x, y)$ dati implicitamente, in un dato punto $M_0(x_0, y_0, z_0)$ con una precisione di due cifre decimali. 6.21 $x^2 + y^2 + z^2 = y - z + 3$, $M_0(1, 2, 0)$

Le derivate parziali possono essere trovate risolvendo il sistema di equazioni: $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z+1}$, $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y+1}{z-1}$

Valori delle derivate parziali nel punto $M_0(1,2,0)$: $\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|{M_0} \circa -0.33$, $\frac{\partial z}{\partial y}\bigg|{M_0} \circa 0,75$.

Prodotto digitale "IDZ 10.1 – Opzione 21. Soluzioni di Ryabushko A.P." è una selezione di soluzioni a problemi di matematica, creata dall'autore Ryabushko A.P. Il prodotto si presenta sotto forma di un documento html, progettato in uno stile bello e comprensibile, che rende il materiale più facile da leggere e comprendere. Contiene un elenco completo di soluzioni ai problemi dei Compiti individuali numero 10.1, opzione 21. Acquistando questo prodotto digitale, avrai accesso a materiale comprovato e di alta qualità che ti aiuterà a comprendere meglio il materiale e a prepararti per l'esame.

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Nello specifico, questa raccolta affronta le seguenti attività:

1. Trova il dominio di definizione della funzione z = 1/√x^2+y^2-5. Dominio della funzione: D = {(x,y) ∈ R^2 | x^2+y^2 > 5}.

2. Trova le derivate parziali e i differenziali parziali della funzione z = sin(x+y)/(x-y). Derivate parziali: ∂z/∂x = ((x-y)cos(x+y)-sin(x+y))/(x-y)^2, ∂z/∂y = ((x-y)cos(x+y) +peccato(x+y))/(x-y)^2. Differenziale parziale: dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy.

3. Calcolare i valori delle derivate parziali f'x(M0), f'y(M0), f'z(M0) per la funzione data f(x, y, z) = 8*5√x^3+ y^2+z nel punto M0(3, 2, 1) con precisione fino a due cifre decimali. Derivate parziali: f'x(x,y,z) = 60x^2/√(x^3+y^2+z), f'y(x,y,z) = 10y/√(x^3+ y^2+z), f'z(x,y,z) = 10/√(x^3+y^2+z). Valori delle derivate parziali nel punto M0(3, 2, 1): f'x(M0) ≈ 329,05, f'y(M0) ≈ 51,96, f'z(M0) ≈ 16,33.

4. Trovare i differenziali totali della funzione z = arcsin((x+y)/x)). Derivate parziali: ∂z/∂x = -y/(x√(1-(x+y)/x)^2), ∂z/∂y = 1/√(1-(x+y)/x) ^2. Differenziale totale: dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = -y/(x√(1-(x+y)/x)^2)dx + 1/√(1 -(x+y)/x)^2dy.

5. Calcola il valore della derivata di una funzione complessa u=u(x, y), dove x=x(t), y=y(t), in t=t0, con precisione fino a due cifre decimali. Condizione: u = √x^2+y+3, x = ln(t), y = t^2, t0 = 1. Derivata rispetto a t: du/dt = (1/2√(x^2+ y+ 3)) * (2x*dx/dt + 2dy/dt) = (t^2+1)/(t√(t^2+4)). Calcoliamo il valore della derivata al punto t0=1: du/dt|t=1 ≈ 1.12.

6. Calcolare i valori delle derivate parziali della funzione z(x, y), specificate implicitamente, in un dato punto M0(x0, y0, z0) con precisione alla seconda cifra decimale. Condizione: x^2 + y^2 + z^2 = y – z + 3 Per calcolare le derivate parziali della funzione z(x, y), data implicitamente, in un dato punto M0(x0, y0, z0), è necessario utilizzare il metodo delle funzioni implicite. Per fare ciò, devi differenziare parzialmente l'equazione x^2 + y^2 + z^2 = y – z + 3 rispetto a xey e risolvere il sistema di equazioni risultante per ∂z/∂x e ∂z /∂y:

2x + 2z(∂z/∂x) = 0 2y - (1 + ∂z/∂y) = 0

Esprimiamo ∂z/∂x e ∂z/∂y:

∂z/∂x = -x/z ∂z/∂y = 1/2 - y/z

Sostituiamo i valori x0, y0 e z0 nelle formule risultanti:

∂z/∂x| M0 = -x0/z0 ∂z/∂y| M0 = 1/2 - y0/z0

Calcoliamo i valori delle derivate parziali nel punto M0 precisi fino a due cifre decimali. Poiché i valori di x0, y0 e z0 non sono specificati, non possiamo calcolare i valori specifici delle derivate parziali.

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IDZ 10.1 – Opzione 21. Soluzioni Ryabushko A.P. è un insieme di soluzioni a problemi di analisi matematica, eseguite dall'autore Ryabushko A.P. Le soluzioni sono formattate in Microsoft Word 2003 e contengono risposte ai seguenti problemi:

1. È necessario trovare il dominio di definizione della funzione z = 1/√x2+y2-5.

2. È necessario trovare le derivate parziali e i differenziali parziali della funzione z = sin(x+y)/(x-y).

3. È necessario calcolare i valori delle derivate parziali f'x(M0), f'y(M0), f'z(M0) per la funzione f(x, y, z) = 8*5√x3 +y2+z nel punto M0(3 , 2, 1) con due cifre decimali.

4. È necessario trovare i differenziali totali della funzione z = arcsin((x+y)/x)).

5. È necessario calcolare il valore della derivata di una funzione complessa u=u(x, y), dove x=x(t), y=y(t), in t=t0 = 1, con precisione alla seconda cifra decimale . Le funzioni sono definite come segue: u = √x2+y+3, x = lnt, y = t2.

6. È necessario calcolare i valori delle derivate parziali della funzione z(x, y), definita implicitamente dall'equazione x2 + y2 + z2 = y – z + 3, nel punto M0(1, 2, 0 ) accurato fino a due cifre decimali.

Le soluzioni ai problemi contengono descrizioni dettagliate di tutte le fasi della soluzione, formule e metodi utilizzati, nonché risposte numeriche precise fino a due cifre decimali.

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