IDZ 10.1 – Možnost 21. Řešení Ryabushko A.P.

1. Najděte doménu definice zadaných funkcí. 1,21 $z = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2-5}}$

Funkce je definována pouze v případě, že $x^2+y^2-5>0$, protože je nemožné vzít odmocninu ze záporného čísla. Definiční obor funkce tedy je: $D = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2>5 }$.

1. Najděte parciální derivace a parciální diferenciály následujících funkcí. 2,21 $z = \frac{\sin(x+y)}{x-y}$

Částečná derivace vzhledem k $x$: $\frac{\částečné z}{\částečné x} = \frac{(x-y)\cos(x+y)-\sin(x+y)}{(x-y)^ 2} $

Částečná derivace vzhledem k $y$: $\frac{\částečné z}{\částečné y} = \frac{(x-y)\cos(x+y)+\sin(x+y)}{(x-y)^ 2} $

Částečný diferenciál: $dz = (\frac{\částečné z}{\částečné x})dx + (\frac{\částečné z}{\částečné y})dy$

1. Vypočítejte hodnoty parciálních derivací $f'x(M0), f'y(M0), f'z(M0)$ pro danou funkci $f(x, y, z)$ v bodě $M0 (x_0, y_0, z_0 )$ s přesností na dvě desetinná místa. 3,21 $f(x, y, z) = 8\cdot5\sqrt{x^3+y^2+z}$, $M_0(3, 2, 1)$

Částečná derivace vzhledem k $x$: $f'_x(x,y,z) = \frac{60x^2}{\sqrt{x^3+y^2+z}}$

Částečná derivace vzhledem k $y$: $f'_y(x,y,z) = \frac{10y}{\sqrt{x^3+y^2+z}}$

Částečná derivace vzhledem k $z$: $f'_z(x,y,z) = \frac{10}{\sqrt{x^3+y^2+z}}$

Hodnoty parciálních derivací v bodě $M_0(3, 2, 1)$: $f'_x(M_0) \cca 329,05$, $f'_y(M_0) \cca 51,96$, $f'_z(M_0) \cca 16,33 $.

1. Najděte úplné diferenciály uvedených funkcí. 4,21 $z = \arcsin(\frac{x+y}{x})$

Částečné derivace: $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y}{x\sqrt{1-(\frac{x+y}{x})^2}}$, $\ frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x+y}{x})^2}}$

Celkový rozdíl: $dz = (\frac{\částečné z}{\částečné x})dx + (\frac{\částečné z}{\částečné y})dy = -\frac{y}{x\sqrt{1 -(\frac{x+y}{x})^2}}dx + \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x+y}{x})^2}}dy$

1. Vypočítejte hodnotu derivace komplexní funkce $u=u(x, y)$, kde $x=x(t)$, $y=y(t)$, s $t=t_0$ s přesností na dvě desetinná místa místa. 5,21 $u = \sqrt{x^2+y+3}$, $x = \ln(t)$, $y = t^2$, $t_0 = 1$

Derivát vzhledem k $t$: $\frac{du}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+y+3}}\cdot(2x\frac{dx}{dt}+ 2\ frac{dy}{dt})$

Dosazením $x = \ln(t)$ a $y = t^2$ dostaneme: $\frac{du}{dt} = \frac{t^2+1}{t\sqrt{t^2+ 4 }}$

Výpočtem hodnoty derivace v bodě $t_0=1$ dostaneme: $\frac{du}{dt}\bigg|_{t=1} \cca 1,12$.

1. Vypočítejte hodnoty parciálních derivací funkce $z(x, y)$ dané implicitně, v daném bodě $M_0(x_0, y_0, z_0)$ s přesností na dvě desetinná místa. 6,21 $ x^2 + y^2 + z^2 = y - z + 3 $, $M_0(1, 2, 0) $

Parciální derivace lze nalézt řešením soustavy rovnic: $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z+1}$, $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y+1}{z-1}$

Hodnoty parciálních derivací v bodě $M_0(1,2,0)$: $\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|{M_0} \cca -0,33$, $\frac{\částečné z}{\částečné y}\bigg|{M_0} \přibližně 0,75 $.

Digitální produkt "IDZ 10.1 – Option 21. Solutions by Ryabushko A.P." je výběr řešení problémů v matematice, který vytvořil autor Ryabushko A.P. Produkt je prezentován ve formě html dokumentu, navržený v krásném a srozumitelném stylu, díky čemuž je materiál snazší číst a pochopit. Obsahuje kompletní seznam řešení úloh z Individuálního domácího úkolu číslo 10.1, možnost 21. Zakoupením tohoto digitálního produktu získáte přístup ke kvalitnímu a osvědčenému materiálu, který vám pomůže lépe porozumět látce a připravit se na zkoušku.

IDZ 10.1 – Možnost 21. Řešení Ryabushko A.P. je digitální produkt, který je výběrem řešení problémů v matematice. Produkt obsahuje kompletní seznam řešení problémů z Individuálního domácího úkolu číslo 10.1, možnost 21. Řešení jsou prezentována ve formě krásného a srozumitelného dokumentu ve formátu Microsoft Word 2003 pomocí editoru vzorců, který usnadňuje čtení a porozumění materiál.

Konkrétně tato kolekce řeší následující úkoly:

1. Najděte definiční obor funkce z = 1/√x^2+y^2-5. Oblast funkce: D = {(x,y) ∈ R^2 | x^2+y^2 > 5}.

2. Najděte parciální derivace a parciální diferenciály funkce z = sin(x+y)/(x-y). Parciální derivace: ∂z/∂x = ((x-y)cos(x+y)-sin(x+y))/(x-y)^2, ∂z/∂y = ((x-y)cos(x+y) +sin(x+y))/(x-y)^2. Parciální diferenciál: dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy.

3. Vypočítejte hodnoty parciálních derivací f'x(M0), f'y(M0), f'z(M0) pro danou funkci f(x, y, z) = 8*5√x^3+ y^2+z v bodě M0(3, 2, 1) s přesností na dvě desetinná místa. Parciální derivace: f'x(x,y,z) = 60x^2/√(x^3+y^2+z), f'y(x,y,z) = 10y/√(x^3+ y^2+z), f'z(x,y,z) = 10/√(x^3+y^2+z). Hodnoty parciálních derivací v bodě M0(3, 2, 1): f'x(M0) ≈ 329,05, f'y(M0) ≈ 51,96, f'z(M0) ≈ 16,33.

4. Najděte celkové diferenciály funkce z = arcsin((x+y)/x)). Parciální derivace: ∂z/∂x = -y/(x√(1-(x+y)/x)^2), ∂z/∂y = 1/√(1-(x+y)/x) ^2. Celkový rozdíl: dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = -y/(x√(1-(x+y)/x)^2)dx + 1/√(1 -(x+y)/x)^2dy.

5. Vypočítejte hodnotu derivace komplexní funkce u=u(x, y), kde x=x(t), y=y(t), při t=t0, s přesností na dvě desetinná místa. Podmínka: u = √x^2+y+3, x = ln(t), y = t^2, t0 = 1. Derivace vzhledem k t: du/dt = (1/2√(x^2+ y+ 3)) * (2x*dx/dt + 2dy/dt) = (t^2+1)/(t√(t^2+4)). Vypočteme hodnotu derivace v bodě t0=1: du/dt|t=1 ≈ 1,12.

6. Vypočítejte hodnoty parciálních derivací funkce z(x, y), zadané implicitně, v daném bodě M0(x0, y0, z0) s přesností na dvě desetinná místa. Podmínka: x^2 + y^2 + z^2 = y – z + 3 Pro výpočet parciálních derivací funkce z(x, y), dané implicitně, v daném bodě M0(x0, y0, z0), je nutné použít metodu implicitních funkcí . K tomu je potřeba částečně derivovat rovnici x^2 + y^2 + z^2 = y – z + 3 vzhledem k x a y a vyřešit výslednou soustavu rovnic pro ∂z/∂x a ∂z /∂y:

2x + 2z(∂z/∂x) = 0 2y - (1 + ∂z/∂y) = 0

Vyjádřeme ∂z/∂x a ∂z/∂y:

∂z/∂x = -x/z ∂z/∂y = 1/2 - y/z

Do výsledných vzorců dosadíme hodnoty x0, y0 a z0:

∂z/∂x| MO = -x0/z0 ∂z/∂y| MO = 1/2 - y0/z0

Vypočítejme hodnoty parciálních derivací v bodě M0 s přesností na dvě desetinná místa. Protože hodnoty x0, y0 a z0 nejsou specifikovány, nemůžeme vypočítat konkrétní hodnoty parciálních derivací.

***

IDZ 10.1 – Možnost 21. Řešení Ryabushko A.P. je soubor řešení problémů v matematické analýze, kterou provedl autor Ryabushko A.P. Řešení jsou naformátována v aplikaci Microsoft Word 2003 a obsahují odpovědi na následující problémy:

1. Je potřeba najít definiční obor funkce z = 1/√x2+y2-5.

2. Je potřeba najít parciální derivace a parciální diferenciály funkce z = sin(x+y)/(x-y).

3. Je nutné vypočítat hodnoty parciálních derivací f'x(M0), f'y(M0), f'z(M0) pro funkci f(x, y, z) = 8*5√x3 +y2+z v bodě M0(3 , 2, 1) s přesností na dvě desetinná místa.

4. Je nutné najít celkové diferenciály funkce z = arcsin((x+y)/x)).

5. Je nutné vypočítat hodnotu derivace komplexní funkce u=u(x, y), kde x=x(t), y=y(t), při t=t0 = 1, s přesností na dvě desetinná místa . Funkce jsou definovány následovně: u = √x2+y+3, x = lnt, y = t2.

6. Je nutné vypočítat hodnoty parciálních derivací funkce z(x, y), definované implicitně rovnicí x2 + y2 + z2 = y – z + 3, v bodě M0(1, 2, 0 ) s přesností na dvě desetinná místa.

Řešení úloh obsahují podrobné popisy všech fází řešení, použité vzorce a metody a také číselné odpovědi s přesností na dvě desetinná místa.

***

1. Vynikající kvalita řešení úloh v IPD 10.1 – Možnost 21.
2. Velké množství úkolů umožňuje lepší přípravu na zkoušku.
3. Rozhodnutí Ryabushko A.P. vám pomůže látku snadno pochopit.
4. Elektronický formát produktu je vhodný pro použití na jakémkoli zařízení.
5. Jedinečný přístup k řešení problémů vám pomůže lépe porozumět materiálu.
6. IDZ 10.1 – Varianta 21 je vhodná jak pro samostudium, tak pro práci s učitelem.
7. Rozhodnutí Ryabushko A.P. Určitě vám pomohou zlepšit váš výkon ve škole nebo na univerzitě.
8. Produkt obsahuje podrobné a jasné vysvětlení každého úkolu.
9. IDZ 10.1 – Option 21 je vynikající volbou pro ty, kteří chtějí získat vysoké známky ve zkoušce.
10. Rozhodnutí Ryabushko A.P. je spolehlivým pomocníkem při přípravě na testy a zkoušky.

Zvláštnosti:

Skvělý digitální produkt! Řešení Ryabushko A.P. pomohl mi dobře se připravit na zkoušku.

Děkujeme za IDZ 10.1 – možnost 21! Řešení Ryabushko A.P. byli velmi nápomocní a chápaví.

Dobrá volba pro ty, kteří chtějí získat vysoké skóre pro IPD. Řešení Ryabushko A.P. pomůže pochopit látku.

Řešení Ryabushko A.P. jsou velkým pomocníkem pro studenty a školáky. Děkujeme za IDZ 10.1 – možnost 21!

Toto je nejlepší digitální produkt, který jsem použil pro přípravu na zkoušky. Řešení Ryabushko A.P. pomohl mi lépe pochopit látku.

Použil jsem IDZ 10.1 - Option 21 a líbilo se mi, jak jasná a srozumitelná řešení Ryabushko A.P.

Díky IDZ 10.1 - Možnost 21 jsem se mohl rychle připravit na zkoušku a získat dobrý výsledek. Řešení Ryabushko A.P. hodně pomohl.

Velmi dobrá volba pro žáky a studenty. Řešení Ryabushko A.P. v IPD 10.1 - Možnost 21 byly velmi užitečné a snadno pochopitelné.

IDZ 10.1 - Option 21 doporučuji každému, kdo chce úspěšně plnit úkoly. Řešení Ryabushko A.P. - nejlepší asistent v tomto oboru!

Děkujeme za IDZ 10.1 – možnost 21! Řešení Ryabushko A.P. byli velmi nápomocní a pomohli mi připravit se na zkoušku.