IDZ 10.1 – Opción 21. Soluciones Ryabushko A.P.

1. Encuentre el dominio de definición de las funciones especificadas. 1.21 $z = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2-5}}$

La función se define solo si $x^2+y^2-5>0$, ya que es imposible sacar la raíz de un número negativo. Así, el dominio de definición de la función es: $D = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2>5 }$.

1. Encuentre derivadas parciales y diferenciales parciales de las siguientes funciones. 2.21 $z = \frac{\sin(x+y)}{x-y}$

Derivada parcial con respecto a $x$: $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(x-y)\cos(x+y)-\sin(x+y)}{(x-y)^ 2} $

Derivada parcial con respecto a $y$: $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{(x-y)\cos(x+y)+\sin(x+y)}{(x-y)^ 2}$

Diferencial parcial: $dz = (\frac{\partial z}{\partial x})dx + (\frac{\partial z}{\partial y})dy$

1. Calcular los valores de las derivadas parciales $f'x(M0), f'y(M0), f'z(M0)$, para una función dada $f(x, y, z)$ en el punto $M0( x_0, y_0, z_0 )$ con una precisión de dos decimales. 3.21 $f(x, y, z) = 8\cdot5\sqrt{x^3+y^2+z}$, $M_0(3, 2, 1)$

Derivada parcial con respecto a $x$: $f'_x(x,y,z) = \frac{60x^2}{\sqrt{x^3+y^2+z}}$

Derivada parcial con respecto a $y$: $f'_y(x,y,z) = \frac{10y}{\sqrt{x^3+y^2+z}}$

Derivada parcial con respecto a $z$: $f'_z(x,y,z) = \frac{10}{\sqrt{x^3+y^2+z}}$

Valores de derivadas parciales en el punto $M_0(3, 2, 1)$: $f'_x(M_0) \aprox 329.05$, $f'_y(M_0) \aprox 51.96$, $f'_z(M_0) \aproximadamente 16,33 $.

1. Encuentre los diferenciales completos de las funciones indicadas. 4.21 $z = \arcsin(\frac{x+y}{x})$

Derivadas parciales: $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y}{x\sqrt{1-(\frac{x+y}{x})^2}}$, $\ frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x+y}{x})^2}}$

Diferencial total: $dz = (\frac{\partial z}{\partial x})dx + (\frac{\partial z}{\partial y})dy = -\frac{y}{x\sqrt{1 -(\frac{x+y}{x})^2}}dx + \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x+y}{x})^2}}dy$

1. Calcular el valor de la derivada de una función compleja $u=u(x, y)$, donde $x=x(t)$, $y=y(t)$, con $t=t_0$ con precisión de dos decimales lugares. 5.21 $u = \sqrt{x^2+y+3}$, $x = \ln(t)$, $y = t^2$, $t_0 = 1$

Derivada con respecto a $t$: $\frac{du}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+y+3}}\cdot(2x\frac{dx}{dt}+ 2\ frac{dy}{dt})$

Sustituyendo $x = \ln(t)$ y $y = t^2$, obtenemos: $\frac{du}{dt} = \frac{t^2+1}{t\sqrt{t^2+ 4 }}$

Calculando el valor de la derivada en el punto $t_0=1$, obtenemos: $\frac{du}{dt}\bigg|_{t=1} \approx 1.12$.

1. Calcula los valores de las derivadas parciales de la función $z(x, y)$ dados implícitamente, en un punto dado $M_0(x_0, y_0, z_0)$ con una precisión de dos decimales. 6.21 $x^2 + y^2 + z^2 = y - z + 3$, $M_0(1, 2, 0)$

Las derivadas parciales se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones: $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z+1}$, $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y+1}{z-1}$

Valores de derivadas parciales en el punto $M_0(1,2,0)$: $\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|{M_0} \aprox -0,33$, $\frac{\partial z}{\partial y}\bigg|{M_0} \aproximadamente 0,75$.

Producto digital "IDZ 10.1 – Opción 21. Soluciones de Ryabushko A.P." es una selección de soluciones a problemas de matemáticas, creada por el autor Ryabushko A.P. El producto se presenta en forma de documento html, diseñado con un estilo atractivo y comprensible, lo que hace que el material sea más fácil de leer y comprender. Contiene una lista completa de soluciones a los problemas de la tarea individual número 10.1, opción 21. Al comprar este producto digital, obtiene acceso a material probado y de alta calidad que lo ayudará a comprender mejor el material y prepararse para el examen.

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En concreto, esta colección aborda las siguientes tareas:

1. Encuentra el dominio de definición de la función z = 1/√x^2+y^2-5. Dominio de la función: D = {(x,y) ∈ R^2 | x^2+y^2 > 5}.

2. Encuentre derivadas parciales y diferenciales parciales de la función z = sin(x+y)/(x-y). Derivadas parciales: ∂z/∂x = ((x-y)cos(x+y)-sin(x+y))/(x-y)^2, ∂z/∂y = ((x-y)cos(x+y) +sin(x+y))/(x-y)^2. Diferencial parcial: dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy.

3. Calcula los valores de las derivadas parciales f'x(M0), f'y(M0), f'z(M0) para la función dada f(x, y, z) = 8*5√x^3+ y^2+z en el punto M0(3, 2, 1) con una precisión de dos decimales. Derivadas parciales: f'x(x,y,z) = 60x^2/√(x^3+y^2+z), f'y(x,y,z) = 10y/√(x^3+ y^2+z), f'z(x,y,z) = 10/√(x^3+y^2+z). Valores de derivadas parciales en el punto M0(3, 2, 1): f'x(M0) ≈ 329,05, f'y(M0) ≈ 51,96, f'z(M0) ≈ 16,33.

4. Encuentre los diferenciales totales de la función z = arcsin((x+y)/x)). Derivadas parciales: ∂z/∂x = -y/(x√(1-(x+y)/x)^2), ∂z/∂y = 1/√(1-(x+y)/x) ^2. Diferencial total: dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = -y/(x√(1-(x+y)/x)^2)dx + 1/√(1 -(x+y)/x)^2dy.

5. Calcule el valor de la derivada de una función compleja u=u(x, y), donde x=x(t), y=y(t), en t=t0, con una precisión de dos decimales. Condición: u = √x^2+y+3, x = ln(t), y = t^2, t0 = 1. Derivada con respecto a t: du/dt = (1/2√(x^2+ y+ 3)) * (2x*dx/dt + 2dy/dt) = (t^2+1)/(t√(t^2+4)). Calculamos el valor de la derivada en el punto t0=1: du/dt|t=1 ≈ 1,12.

6. Calcule los valores de las derivadas parciales de la función z(x, y), especificadas implícitamente, en un punto dado M0(x0, y0, z0) con una precisión de dos decimales. Condición: x^2 + y^2 + z^2 = y – z + 3 Para calcular las derivadas parciales de la función z(x, y), dadas implícitamente, en un punto dado M0(x0, y0, z0), es necesario utilizar el método de funciones implícitas. Para hacer esto, necesitas derivar parcialmente la ecuación x^2 + y^2 + z^2 = y – z + 3 con respecto a xey y resolver el sistema de ecuaciones resultante para ∂z/∂x y ∂z /∂y:

2x + 2z(∂z/∂x) = 0 2y - (1 + ∂z/∂y) = 0

Expresemos ∂z/∂x y ∂z/∂y:

∂z/∂x = -x/z ∂z/∂y = 1/2 - y/z

Sustituyamos los valores x0, y0 y z0 en las fórmulas resultantes:

∂z/∂x| M0 = -x0/z0 ∂z/∂y| M0 = 1/2 - y0/z0

Calculemos los valores de las derivadas parciales en el punto M0 con una precisión de dos decimales. Como los valores de x0, y0 y z0 no están especificados, no podemos calcular los valores específicos de las derivadas parciales.

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IDZ 10.1 – Opción 21. Soluciones Ryabushko A.P. es un conjunto de soluciones a problemas de análisis matemático, realizadas por el autor Ryabushko A.P. Las soluciones están formateadas en Microsoft Word 2003 y contienen respuestas a los siguientes problemas:

1. Es necesario encontrar el dominio de definición de la función z = 1/√x2+y2-5.

2. Es necesario encontrar derivadas parciales y diferenciales parciales de la función z = sin(x+y)/(x-y).

3. Es necesario calcular los valores de las derivadas parciales f'x(M0), f'y(M0), f'z(M0) para la función f(x, y, z) = 8*5√x3 +y2+z en el punto M0(3, 2, 1) con una precisión de dos decimales.

4. Es necesario encontrar los diferenciales totales de la función z = arcsin((x+y)/x)).

5. Es necesario calcular el valor de la derivada de una función compleja u=u(x, y), donde x=x(t), y=y(t), en t=t0 = 1, con una precisión de dos decimales. . Las funciones se definen de la siguiente manera: u = √x2+y+3, x = lnt, y = t2.

6. Es necesario calcular los valores de las derivadas parciales de la función z(x, y), definida implícitamente por la ecuación x2 + y2 + z2 = y – z + 3, en el punto M0(1, 2, 0 ) con una precisión de dos decimales.

Las soluciones a los problemas contienen descripciones detalladas de todas las etapas de la solución, fórmulas y métodos utilizados, así como respuestas numéricas con una precisión de dos decimales.

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