IDZ 10.1 – 옵션 21. 솔루션 Ryabushko A.P.

1. 지정된 함수의 정의 영역을 찾습니다. 1.21 $z = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2-5}}$

이 함수는 $x^2+y^2-5>0$인 경우에만 정의됩니다. 음수의 근을 구할 수 없기 때문입니다. 따라서 함수 정의 영역은 $D = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2>5 }$입니다.

1. 다음 함수의 편도함수와 편미분을 구합니다. 2.21 $z = \frac{\sin(x+y)}{x-y}$

$x$에 대한 편도함수: $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(x-y)\cos(x+y)-\sin(x+y)}{(x-y)^ 2} $

$y$에 대한 편도함수: $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{(x-y)\cos(x+y)+\sin(x+y)}{(x-y)^ 2} $

편미분: $dz = (\frac{\partial z}{\partial x})dx + (\frac{\partial z}{\partial y})dy$

1. $M0 지점에서 주어진 함수 $f(x, y, z)$에 대한 편도함수 $f'x(M0), f'y(M0), f'z(M0)$의 값을 계산합니다. (x_0, y_0, z_0 )$ 소수점 이하 두 자리까지 정확합니다. 3.21 $f(x, y, z) = 8\cdot5\sqrt{x^3+y^2+z}$, $M_0(3, 2, 1)$

$x$에 대한 편도함수: $f'_x(x,y,z) = \frac{60x^2}{\sqrt{x^3+y^2+z}}$

$y$에 대한 편도함수: $f'_y(x,y,z) = \frac{10y}{\sqrt{x^3+y^2+z}}$

$z$에 대한 편도함수: $f'_z(x,y,z) = \frac{10}{\sqrt{x^3+y^2+z}}$

$M_0(3, 2, 1)$ 지점에서의 편미분 값: $f'_x(M_0) \about 329.05$, $f'_y(M_0) \about 51.96$, $f'_z(M_0) \약 16.33달러.

1. 표시된 기능의 완전한 미분을 찾아보세요. 4.21 $z = \arcsin(\frac{x+y}{x})$

부분 도함수: $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y}{x\sqrt{1-(\frac{x+y}{x})^2}}$, $\ frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x+y}{x})^2}}$

총 미분: $dz = (\frac{\partial z}{\partial x})dx + (\frac{\partial z}{\partial y})dy = -\frac{y}{x\sqrt{1 -(\frac{x+y}{x})^2}}dx + \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x+y}{x})^2}}dy$

1. $x=x(t)$, $y=y(t)$에서 $t=t_0$를 사용하여 소수점 두 자리까지 정확한 복소 함수 $u=u(x, y)$의 도함수 값을 계산합니다. 장소. 5.21 $u = \sqrt{x^2+y+3}$, $x = \ln(t)$, $y = t^2$, $t_0 = 1$

$t$에 대한 도함수: $\frac{du}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+y+3}}\cdot(2x\frac{dx}{dt}+ 2\ frac{dy}{dt})$

$x = \ln(t)$ 및 $y = t^2$를 대체하면 다음을 얻습니다. $\frac{du}{dt} = \frac{t^2+1}{t\sqrt{t^2+ 4 }}$

$t_0=1$ 지점에서 도함수 값을 계산하면 $\frac{du}{dt}\bigg|_{t=1} \about 1.12$를 얻습니다.

1. 주어진 지점 $M_0(x_0, y_0, z_0)$에서 암시적으로 주어진 함수 $z(x, y)$의 편도함수 값을 소수점 이하 두 자리의 정확도로 계산합니다. 6.21 $x^2 + y^2 + z^2 = y - z + 3$, $M_0(1, 2, 0)$

부분 도함수는 방정식 시스템을 풀어서 구할 수 있습니다: $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z+1}$, $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y+1}{z-1}$

$M_0(1,2,0)$ 지점에서의 편미분 값: $\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|{M_0} \대략 -0.33$, $\frac{\partial z}{\partial y}\bigg|{M_0} \약 0.75$.

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특히 이 컬렉션은 다음 작업을 다룹니다.

1. 함수 z = 1/√x^2+y^2-5의 정의 영역을 찾습니다. 함수의 영역: D = {(x,y) ∈ R^2 | x^2+y^2 > 5}.

2. 함수 z = sin(x+y)/(x-y)의 편미분과 편미분을 구합니다. 부분 도함수: ∂z/∂x = ((x-y)cos(x+y)-sin(x+y))/(x-y)^2, ∂z/∂y = ((x-y)cos(x+y) +사인(x+y))/(x-y)^2. 편미분: dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy.

3. 주어진 함수 f(x, y, z) = 8*5√x^3+에 대한 편도함수 f'x(M0), f'y(M0), f'z(M0)의 값을 계산합니다. M0(3, 2, 1) 지점의 y^2+z는 소수점 이하 두 자리까지 정확합니다. 부분 도함수: f'x(x,y,z) = 60x^2/√(x^3+y^2+z), f'y(x,y,z) = 10y/√(x^3+ y^2+z), f'z(x,y,z) = 10/√(x^3+y^2+z). M0(3, 2, 1) 지점의 부분 도함수 값: f'x(M0) ≒ 329.05, f'y(M0) ≒ 51.96, f'z(M0) ≒ 16.33.

4. 함수 z = arcsin((x+y)/x))의 총 미분을 구합니다. 부분 도함수: ∂z/∂x = -y/(x√(1-(x+y)/x)^2), ∂z/∂y = 1/√(1-(x+y)/x) ^2. 총 미분: dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = -y/(x√(1-(x+y)/x)^2)dx + 1/√(1 -(x+y)/x)^2dy.

5. T=t0에서 x=x(t), y=y(t)인 복소 함수 u=u(x, y)의 도함수 값을 소수점 이하 두 자리까지 정확하게 계산합니다. 조건: u = √x^2+y+3, x = ln(t), y = t^2, t0 = 1. t에 대한 도함수: du/dt = (1/2√(x^2+ y+ 3)) * (2x*dx/dt + 2dy/dt) = (t^2+1)/(t√(t^2+4)). t0=1 지점에서 도함수 값을 계산합니다: du/dt|t=1 ≒ 1.12.

6. 주어진 점 M0(x0, y0, z0)에서 암시적으로 지정된 함수 z(x, y)의 편도함수 값을 소수점 이하 두 자리까지 정확하게 계산합니다. 조건: x^2 + y^2 + z^2 = y – z + 3 주어진 점 M0(x0, y0, z0)에서 암시적으로 주어진 함수 z(x, y)의 편도함수를 계산하려면, 암시적 함수의 방법을 사용할 필요가 있습니다. 이렇게 하려면 방정식 x^2 + y^2 + z^2 = y – z + 3을 x와 y에 대해 부분적으로 미분하고 ∂z/∂x 및 ∂z에 대한 결과 방정식 시스템을 풀어야 합니다. /∂y:

2x + 2z(∂z/∂x) = 0 2y - (1 + ∂z/∂y) = 0

∂z/∂x와 ∂z/∂y를 표현해 보겠습니다.

∂z/∂x = -x/z ∂z/∂y = 1/2 - y/z

X0, y0 및 z0 값을 결과 공식에 대체해 보겠습니다.

∂z/∂x| M0 = -x0/z0 ∂z/∂y| M0 = 1/2 - y0/z0

소수점 두 자리까지 정확한 M0 지점의 편미분 값을 계산해 보겠습니다. x0, y0, z0 값이 지정되지 않았기 때문에 편도함수의 구체적인 값을 계산할 수 없습니다.

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IDZ 10.1 – 옵션 21. 솔루션 Ryabushko A.P. 저자 Ryabushko A.P.가 수행한 수학적 분석 문제에 대한 솔루션 세트입니다. 솔루션은 Microsoft Word 2003 형식으로 되어 있으며 다음 문제에 대한 답변을 포함하고 있습니다.

1. 함수 z = 1/√x2+y2-5의 정의 영역을 찾는 것이 필요합니다.

2. 함수 z = sin(x+y)/(x-y)의 편도함수와 편미분을 구하는 것이 필요합니다.

3. 함수 f(x, y, z) = 8*5√x3에 대한 편도함수 f'x(M0), f'y(M0), f'z(M0)의 값을 계산해야 합니다. M0(3 , 2, 1) 지점의 +y2+z는 소수점 이하 두 자리까지 정확합니다.

4. 함수 z = arcsin((x+y)/x))의 전체 미분을 구하는 것이 필요합니다.

5. T=t0 = 1에서 x=x(t), y=y(t)인 복소 함수 u=u(x, y)의 도함수 값을 소수점 이하 두 자리까지 정확하게 계산해야 합니다. . 함수는 다음과 같이 정의됩니다: u = √x2+y+3, x = lnt, y = t2.

6. M0(1, 2, 0 ) 소수점 이하 두 자리까지 정확합니다.

문제 해결 방법에는 문제 해결의 모든 단계, 사용된 공식 및 방법에 대한 자세한 설명과 소수점 이하 두 자리까지 정확한 수치 답변이 포함되어 있습니다.

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