Ryabushko A.P. IDZ 3.1 možnost 8

Č. 1.8. Jsou dány čtyři body: A1(6;1;1); A2(4;6;6); A3(4;2;0); A4(1;2;6). Je nutné vytvořit rovnice: a) rovina A1A2A3; b) přímý A1A2; c) přímka A4M, kolmá k rovině A1A2A3; d) přímka A3N rovnoběžná s přímkou ​​A1A2; e) rovinou procházející bodem A4 a kolmou k přímce A1A2.

Dále je nutné vypočítat: e) sinus úhlu mezi přímkou ​​A1A4 a rovinou A1A2A3; g) kosinus úhlu mezi rovinou souřadnic Oxy a rovinou A1A2A3.

a) Abychom našli rovnici roviny A1A2A3, je nutné použít vzorec pro obecnou rovnici roviny: Ax + By + Cz + D = 0. Nejprve najdeme vektory A1A2 a A1A3:

A1A2 = (4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5) A1A3 = (4-6; 2-1; 0-1) = (-2; 1; -1)

Pak najdeme jejich vektorový součin:

n = A1A2 x A1A3 = (-6; -10; 12)

Nyní dosadíme souřadnice bodu A1 a vektor n do vzorce pro obecnou rovnici roviny:

-6x - 10y + 12z + D = 0

D = 66 + 101 - 12*1 = 58

Rovnice roviny je A1A2A3: -6x - 10y + 12z + 58 = 0.

b) Pro nalezení rovnice přímky A1A2 je nutné použít parametrický tvar rovnice přímky: x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct, kde (a, b, c) je směrový vektor přímky.

Směrový vektor přímky A1A2 se rovná:

(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)

Pak rovnice přímky A1A2 má tvar:

x = 6 - 2t y = 1 + 5t z = 1 + 5t

c) Abychom našli rovnici přímky A4M kolmé k rovině A1A2A3, je nutné najít směrový vektor této přímky, který bude kolmý k vektoru n, tj.:

(a, b, c) * (-6, -10, 12) = 0

Z toho vyplývá, že směrový vektor přímky A4M by měl mít tvar:

(6, -3, -3)

Nyní najdeme rovnici přímky A4M s vědomím, že prochází bodem A4(1;2;6):

x = 1 + 6t y = 2 - 3t z = 6 - 3t

d) Přímka A3N je rovnoběžná s úsečkou A1A2, proto její směrový vektor musí mít stejné označení souřadnic jako směrový vektor úsečky A1A2:

(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)

Přímka A3N prochází bodem A3(4;2;0), takže její rovnice má tvar:

x = 4 - 2t y = 2 + 5t z = 5t

e) K nalezení rovnice roviny procházející bodem A4 a kolmé k přímce A1A2 lze použít vzorec pro obecnou rovnici roviny, podobný vzorci z bodu a). Pojďme najít směrový vektor přímky A1A2:

(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)

Směrový vektor požadované roviny musí být kolmý na tento vektor, takže můžete vzít vektor získaný z jeho souřadnic se změnou znaménka jedné z nich, nebo vzít vektorový součin mezi ním a vektorem, například (1 ,0,0):

(-5, -2, 2) nebo (0, -5, 5)

Poté dosadíme souřadnice bodu A4 a nalezený vektor do vzorce pro obecnou rovnici roviny:

-5x - 2y + 2z + D = 0 a 0x - 5y + 5z + D = 0

D = 51 - 52 + 5*6 = 23

Rovnice roviny procházející bodem A4 a kolmé k přímce A1A2: -5x - 2y + 2z + 23 = 0 nebo 0x - 5y + 5z + 23 = 0.

f) Chcete-li najít sinus úhlu mezi přímkou ​​A1A4 a rovinou A1A2A3, můžete použít vzorec sin α = |n * l| / (|n| * |l|), kde n je normálový vektor k rovině, l je směrový vektor přímky. Pojďme najít normálový vektor k rovině A1A2A3:

n = A1A2 x A1A3 = (-6; -10; 12)

Pojďme najít směrový vektor přímky A1A4:

A1A4 = (1-6; 2-1; 6-1) = (-5; 1; 5)

Potom je sinus úhlu mezi přímkou ​​A1A4 a rovinou A1A2A3 roven:

sin α = |(-6; -10; 12) * (-5; 1; 5)| / (sqrt((-6)^2 + (-10)^2 + 12^2) * sqrt((-5)^2 + 1^2 + 5^2)) = 11/13

g) Pro zjištění kosinusu úhlu mezi rovinou souřadnic Oxy a rovinou A1A2A3 můžete použít vzorec cos α = |n * k| / (|n| * |k|), kde n a k jsou normálové vektory k rovinám. Normálový vektor k rovině souřadnic Oxy má tvar (0;0;1) a normálový vektor k rovině A1A2A3 byl nalezen v bodě a):

n = (-6; -10; 12) k = (0; 0; 1)

Potom je kosinus úhlu mezi rovinami roven

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 možnost 8

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 verze 8 je digitální produkt určený pro studenty studující matematiku v rámci kurzu Individuální domácí úkoly. Tento produkt obsahuje verzi 8 úkolu 3.1 vyvinutou společností A.P. Rjabuško.

• Pomůže studentům lépe porozumět materiálu kurzu "Individuální domácí úkoly";
• Obsahuje aktivitu 3.1 verze 8, vyvinutou profesionálem v oblasti matematiky;
• Digitální produkt, který lze zakoupit a stáhnout v jakoukoli vhodnou dobu;
• Je k dispozici za konkurenceschopnou cenu a šetří čas při hledání a přípravě zadání.

Je nám líto, zdá se, že jste vložili matematický problém s pokyny k jeho řešení. Mohli byste prosím objasnit svůj požadavek nebo poskytnout další kontext, abych lépe porozuměl tomu, jak vám pomoci?

***

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 možnost 8 je geometrická úloha, která obsahuje několik bodů:

1. Hledání rovnic: a) rovina procházející třemi body A1(6;1;1), A2(4;6;6) a A3(4;2;0); b) přímka procházející body A1(6;1;1) a A2(4;6;6); c) přímka procházející bodem A4(1;2;6) a kolmá k rovině procházející třemi body A1, A2 a A3; d) přímka rovnoběžná s přímkou ​​procházející body A1 a A2 a procházející bodem A3; e) rovina procházející bodem A4 a kolmá k přímce procházející body A1 a A2.

2. Výpočet: f) sinus úhlu mezi přímkou ​​procházející body A1(6;1;1) a A4(1;2;6) a rovinou procházející třemi body A1, A2 a A3; g) kosinus úhlu mezi rovinou souřadnic Oxy a rovinou procházející třemi body A1, A2 a A3.

3. Nalezení rovnice roviny procházející dvěma rovnoběžnými přímkami a průmětu bodu P(3;1;–1) do této roviny.

V případě dotazů se můžete obrátit na prodejce na adrese uvedené v informacích o prodejci.

***

1. Ryabushko A.P. IDZ 3.1 verze 8 je vynikající digitální produkt pro studenty, kteří se připravují na zkoušky.
2. Jsem velmi spokojen s nákupem Ryabushko A.P. IDZ 3.1 verze 8 - materiály jsou velmi podrobné a srozumitelné.
3. S pomocí Ryabushko A.P. IDZ 3.1 verze 8 Materiál jsem se snadno a rychle naučil a mohl úspěšně složit zkoušku.
4. Doporučuji Ryabushko A.P. IDZ 3.1 možnost 8 pro všechny studenty, kteří chtějí získat vysoké skóre u zkoušky.
5. Vynikající digitální produkt pro ty, kteří se chtějí připravit na zkoušky pohodlným způsobem.
6. Ryabushko A.P. IDZ 3.1 verze 8 je spolehlivým pomocníkem pro studenty, kteří chtějí získat vysoké známky.
7. Materiály Ryabushko A.P. IDZ 3.1 verze 8 obsahuje všechny potřebné informace k úspěšnému složení zkoušky.