Lösung zu Aufgabe 16.1.5 aus der Sammlung von Kepe O.E.

Aufgabe 16.1.5 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist wie folgt formuliert:

Gegeben sei die Gleichung:

y'' + 4y' + 3y = 2x + 1

Erforderlich:

1. Finden Sie die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung:

y'' + 4y' + 3y = 0

1. Finden Sie eine bestimmte Lösung für die inhomogene Gleichung:

y'' + 4y' + 3y = 2x + 1

1. Finden Sie die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung.

Um das Problem zu lösen, können Sie die Methode der Variation von Konstanten verwenden, die wie folgt lautet:

1. Wir finden die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung, indem wir ihre charakteristische Gleichung lösen:

λ^2 + 4λ + 3 = 0

Wir bekommen die Wurzeln:

λ1 = -1, λ2 = -3

Dann hat die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung die Form:

y(x) = c1e^(-x) + c2e^(-3x)

wobei c1, c2 beliebige Konstanten sind.

1. Wir finden eine bestimmte Lösung der inhomogenen Gleichung mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten. Da die rechte Seite der Gleichung die Form 2x + 1 hat, gehen wir von einer bestimmten Lösung der Form aus:

y_p(x) = Ax + B

Wir setzen es in die ursprüngliche Gleichung ein und ermitteln die Werte der Koeffizienten A und B:

A = 1/2, B = 1/3

Dann hat die jeweilige Lösung die Form:

y_p(x) = 1/2 x + 1/3

1. Die allgemeine Lösung einer inhomogenen Gleichung ist die Summe der allgemeinen Lösung einer homogenen Gleichung und einer bestimmten Lösung einer inhomogenen Gleichung:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1e^(-x) + c2e^(-3x) + 1/2 x + 1/3

wobei c1, c2 beliebige Konstanten sind.

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Aufgabe 16.1.5 aus der Sammlung von Kepe O.?. betrachtet ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung der Form dx/dt = f(x, y), dy/dt = g(x, y), wobei f und g stetig differenzierbare Funktionen sind. Das Problem erfordert die Untersuchung des Verhaltens von Lösungen dieses Systems in der Nähe eines gegebenen Anfangspunkts (x0, y0).

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die Stabilität der Gleichgewichtszustände des Systems (Punkte mit dx/dt = 0 und dy/dt = 0) zu analysieren und die Art dieser Zustände (Knoten, Sattel, Fokus usw.) zu bestimmen. ). Dann sollten wir das Phasenporträt des Systems betrachten, d.h. stellen Sie auf der Ebene (x, y) die Bewegungsrichtungen von Lösungen in verschiedenen Bereichen dar. Dadurch lassen sich Rückschlüsse auf das Verhalten von Lösungen in Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen ziehen.

Im Allgemeinen ist die Lösung für Aufgabe 16.1.5 aus der Sammlung von Kepe O.?. erfordert den Einsatz von Methoden aus der Theorie der Differentialgleichungen und des Phasenraums und ermöglicht ein tiefes Verständnis des Verhaltens von Lösungen eines gegebenen Systems unter verschiedenen Bedingungen.

Lösung zu Aufgabe 16.1.5 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, das Hauptmoment der äußeren Kräfte zu bestimmen, die zum Zeitpunkt t = 2 s auf einen homogenen Zylinder mit Radius R = 1,41 m und Masse m = 60 kg wirken.

Um das Problem zu lösen, müssen Sie die Formel verwenden, um das Trägheitsmoment des Zylinders relativ zu seiner Drehachse zu bestimmen, das gleich I = (1/2) * m * R^2 ist. Anschließend können Sie mithilfe der Formel zur Bestimmung des Hauptmoments der äußeren Kräfte auf den Körper das gewünschte Ergebnis berechnen.

Nachdem wir die bekannten Werte in die Formel eingesetzt und die notwendigen Berechnungen durchgeführt haben, erhalten wir die Antwort 119.

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