Kepe O.E 收集的问题 20.6.12 的解决方案

在保守系统中，动能 T 和势能 P 通过方程 P = T - Pot 相关，其中 Pot 是势能。对于给定系统，动能 T 等于 x1^2 + x2^2 + 2x1x2，势能P等于0.5*x1^2 + x2。

系统对于广义坐标 x2 的运动微分方程的形式为 d/dt(dT/dx2) - dП/dx2 = 0。代入 T 和 П 的值，我们得到 d/dt(2x2+2x1) - 1 = 0。

导数 d/dt(x2) 等于加速度 x2。将x1=0.25代入方程求解，可得x1=0.25m时的加速度x2，答案：-0.25。

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Kepe O.? 收集的问题 20.6.12 的解决方案。在于确定当广义坐标x1等于0.25m时保守系统的广义坐标x2的加速度。

求解该问题需要利用广义坐标x2对应的系统运动微分方程，以及第二广义坐标加速度的计算公式：

拉格朗日法：d/dt(dL/dq') - dL/dq = Q

其中 L 是系统的拉格朗日量，q 是广义坐标，Q 是广义力。

在这个问题中，势能 P 仅是坐标 x1 的函数，而动能 T 是坐标 x1 和 x2 的函数。因此，系统的拉格朗日量可以写为：

L = T - П = x1^2 + x2^2 + 2x1x2 - 0.5*x1^2 - x2

对广义坐标 x2 的速度求拉格朗日函数微分，我们得到：

dL/dx2' = 2x1+2x2

对广义坐标 x2 求拉格朗日函数微分，得到运动方程：

d/dt(dL/dx2') - dL/dx2 = 0

d/dt(2x1+2x2) - (-1) = 0

2dx2/dt + 2dx1/dt = 1

dx2/dt = (1 - 2*dx1/dt)/2

当广义坐标x1等于0.25 m时，需要将x1 = 0.25代入得到的加速度表达式中并计算该值：

dx2/dt = (1 - 2*0)/2 = 0.5 м/c^2

答：当广义坐标x1等于0.25m时，广义坐标x2的加速度等于-0.25m/s^2。

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