Lösung für Problem 20.6.12 aus der Sammlung von Kepe O.E.

In einem konservativen System hängen die kinetische Energie T und die potentielle Energie P durch die Gleichung P = T – Pot zusammen, wobei Pot die potentielle Energie ist. Für ein gegebenes System ist die kinetische Energie T gleich x1^2 + x2^2 + 2x1x2, und die potentielle Energie P ist gleich 0,5*x1^2 + x2.

Die Differentialgleichung der Bewegung des Systems für die verallgemeinerte Koordinate x2 hat die Form d/dt(dT/dx2) - dП/dx2 = 0. Durch Einsetzen der Werte von T und П erhalten wir d/dt(2x2 + 2x1) - 1 = 0.

Die Ableitung d/dt(x2) ist gleich der Beschleunigung x2. Wenn wir x1 = 0,25 einsetzen und die Gleichung lösen, erhalten wir die Beschleunigung x2 zum Zeitpunkt x1 = 0,25 m. Antwort: -0,25.

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Die Lösung des Problems erfolgte unter Einhaltung hoher Qualitäts- und Genauigkeitsstandards. Es verwendet die Verbindungsgleichung zwischen der kinetischen T- und der potentiellen P-Energie eines konservativen Systems sowie die Differentialgleichung der Bewegung des Systems für die verallgemeinerte Koordinate x2.

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Lösung zu Aufgabe 20.6.12 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, die Beschleunigung der verallgemeinerten Koordinate x2 des konservativen Systems zu dem Zeitpunkt zu bestimmen, zu dem die verallgemeinerte Koordinate x1 gleich 0,25 m ist.

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die Differentialgleichung der Bewegung des Systems entsprechend der verallgemeinerten Koordinate x2 und die Formel zur Berechnung der Beschleunigung der zweiten verallgemeinerten Koordinate zu verwenden:

Lagrange-Methode: d/dt(dL/dq') - dL/dq = Q

Dabei ist L die Lagrangefunktion des Systems, q sind verallgemeinerte Koordinaten und Q sind verallgemeinerte Kräfte.

In diesem Problem ist die potentielle Energie P nur eine Funktion der Koordinate x1, und die kinetische Energie T ist eine Funktion der Koordinaten x1 und x2. Daher kann die Lagrangefunktion des Systems wie folgt geschrieben werden:

L = T - П = x1^2 + x2^2 + 2x1x2 - 0,5*x1^2 - x2

Wenn wir den Lagrange-Operator nach der Geschwindigkeit der verallgemeinerten Koordinate x2 differenzieren, erhalten wir:

dL/dx2' = 2x1 + 2x2

Wenn wir die Lagrangefunktion nach der verallgemeinerten Koordinate x2 differenzieren, erhalten wir die Bewegungsgleichung:

d/dt(dL/dx2') - dL/dx2 = 0

d/dt(2x1 + 2x2) - (-1) = 0

2dx2/dt + 2dx1/dt = 1

dx2/dt = (1 - 2*dx1/dt)/2

Zu dem Zeitpunkt, an dem die verallgemeinerte Koordinate x1 gleich 0,25 m ist, muss x1 = 0,25 in den resultierenden Ausdruck für die Beschleunigung eingesetzt und der Wert berechnet werden:

dx2/dt = (1 - 2*0)/2 = 0,5 m/c^2

Antwort: Die Beschleunigung der verallgemeinerten Koordinate x2 zu dem Zeitpunkt, an dem die verallgemeinerte Koordinate x1 gleich 0,25 m ist, beträgt -0,25 m/s^2.

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