Soluzione al problema 20.6.12 dalla collezione di Kepe O.E.

In un sistema conservativo, l'energia cinetica T e l'energia potenziale P sono legate dall'equazione P = T - Pot, dove Pot è l'energia potenziale. Per un dato sistema, l'energia cinetica T è uguale a x1^2 + x2^2 + 2x1x2 e l'energia potenziale P è pari a 0,5*x1^2 + x2.

L'equazione differenziale del moto del sistema per la coordinata generalizzata x2 ha la forma d/dt(dT/dx2) - dП/dx2 = 0. Sostituendo i valori di T e П, otteniamo d/dt(2x2+2x1) - 1 = 0.

La derivata d/dt(x2) è uguale all'accelerazione x2. Sostituendo x1 = 0,25 e risolvendo l'equazione, otteniamo l'accelerazione x2 nel momento in cui x1 = 0,25 m Risposta: -0,25.

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Soluzione al problema 20.6.12 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare l'accelerazione della coordinata generalizzata x2 del sistema conservativo nell'istante in cui la coordinata generalizzata x1 è pari a 0,25 m.

Per risolvere il problema è necessario utilizzare l'equazione differenziale del moto del sistema corrispondente alla coordinata generalizzata x2 e la formula per calcolare l'accelerazione della seconda coordinata generalizzata:

Metodo di Lagrange: d/dt(dL/dq') - dL/dq = Q

dove L è la lagrangiana del sistema, q sono le coordinate generalizzate, Q sono le forze generalizzate.

In questo problema, l'energia potenziale P è una funzione solo della coordinata x1 e l'energia cinetica T è una funzione delle coordinate x1 e x2. Pertanto la Lagrangiana del sistema può essere scritta come segue:

L = T - П = x1^2 + x2^2 + 2x1x2 - 0,5*x1^2 - x2

Differenziando la Lagrangiana rispetto alla velocità della coordinata generalizzata x2, si ottiene:

dL/dx2' = 2x1+2x2

Differenziando la Lagrangiana rispetto alla coordinata generalizzata x2, si ottiene l'equazione del moto:

d/dt(dL/dx2') - dL/dx2 = 0

d/dt(2x1+2x2) - (-1) = 0

2dx2/dt + 2dx1/dt = 1

dx2/dt = (1 - 2*dx1/dt)/2

Nel momento in cui la coordinata generalizzata x1 è uguale a 0,25 m, è necessario sostituire x1 = 0,25 nell'espressione risultante per l'accelerazione e calcolare il valore:

dx2/dt = (1 - 2*0)/2 = 0,5 м/c^2

Risposta: l'accelerazione della coordinata generalizzata x2 nel momento in cui la coordinata generalizzata x1 è pari a 0,25 m è pari a -0,25 m/s^2.

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