Kepe O.E. のコレクションからの問題 20.6.12 の解決策。

保守的なシステムでは、運動エネルギー T と位置エネルギー P は方程式 P = T - Pot によって関連付けられます。ここで、Pot は位置エネルギーです。特定のシステムの場合、運動エネルギー T は ×1^2 + ×2^2 + 2 に等しくなります。×1x2、位置エネルギー P は 0.5*x1^2 + x2 に等しくなります。

一般化座標 x2 に対するシステムの微分運動方程式は、d/dt(dT/dx2) - dП/dx2 = 0 の形式になります。T と П の値を代入すると、d/dt(2) が得られます。×2+2x1) - 1 = 0。

微分値 d/dt(x2) は加速度 x2 に等しくなります。 x1 = 0.25 を代入して方程式を解くと、x1 = 0.25 m のときの加速度 x2 が得られます。答えは -0.25 です。

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問題の解決は、高い品質と精度の基準に従って実行されました。これは、保存系の運動 T エネルギーとポテンシャル P エネルギー間の接続方程式と、一般化座標 x2 に対する系の微分運動方程式を使用します。

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Kepe O.? のコレクションからの問題 20.6.12 の解決策。一般化座標 x1 が 0.25 m に等しい時点での保守的なシステムの一般化座標 x2 の加速度を決定することにあります。

この問題を解決するには、一般化座標 x2 に対応するシステムの微分運動方程式と、2 番目の一般化座標の加速度を計算する式を使用する必要があります。

ラグランジュ法: d/dt(dL/dq') - dL/dq = Q

ここで、L はシステムのラグランジアン、q は一般化された座標、Q は一般化された力です。

この問題では、位置エネルギー P は座標 x1 のみの関数であり、運動エネルギー T は座標 x1 と x2 の関数です。したがって、システムのラグランジアンは次のように記述できます。

L = T - П = x1^2 + x2^2 + 2x1x2 - 0.5*x1^2 - x2

一般化座標 x2 の速度に関してラグランジアンを微分すると、次が得られます。

dL/dx2' = 2×1+2x2

一般化座標 x2 に関してラグランジュ関数を微分すると、運動方程式が得られます。

d/dt(dL/dx2') - dL/dx2 = 0

d/dt(2×1+2x2) - (-1) = 0

2dx2/dt+2dx1/dt = 1

dx2/dt = (1 - 2*dx1/dt)/2

一般化座標 x1 が 0.25 m に等しい時点で、得られた加速度の式に x1 = 0.25 を代入し、値を計算する必要があります。

dx2/dt = (1 - 2*0)/2 = 0.5 м/c^2

答え: 一般化座標 x1 が 0.25 m に等しい瞬間の一般化座標 x2 の加速度は -0.25 m/s^2 に等しくなります。

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