Lösung zu Aufgabe 21.1.1 aus der Sammlung von Kepe O.E.

21.1.1 In einem gegebenen mechanischen System können kleine Schwingungen durch die Differentialgleichung q + (4π)2q = 0 beschrieben werden, wobei q – die verallgemeinerte Koordinate m darstellt. Die anfängliche Verschiebung des Systems beträgt q0 = 0,02 m und die Anfangsgeschwindigkeit qo = 2 m /Mit. Es ist notwendig, die Amplitude der Schwingungen zu bestimmen. Die Lösung dieser Gleichung lautet q = q0cos(2πt/T), wobei T die Schwingungsperiode ist. Die Amplitude der Schwingungen lässt sich zu A = |q0| berechnen = 0,02 * |cos(2πt/T)|. Durch Ersetzen der Anfangsbedingungen erhalten wir A = 0,02 m * |cos(0)| = 0,02 m * 1 = 0,02 m. Dieser Wert stellt jedoch den Maximalwert der Schwingungsamplitude dar. Da q = q0cos(2πt/T), ist der minimale Amplitudenwert gleich |q0| = 0,02 m * |cos(π)| = 0,02 m * (-1) = -0,02 m. Daher beträgt die Schwingungsamplitude 0,02 m - (-0,02 m) = 0,04 m. Antwort: 0,160 m.

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Das Problem beschreibt ein mechanisches System, für das kleine Schwingungen durch die Differentialgleichung q + (4π)2q = 0 beschrieben werden können, wobei q eine verallgemeinerte Koordinate m ist. Die Anfangsbedingungen sind gegeben: q0 = 0,02 m und qo = 2 m /S. Es ist notwendig, die Amplitude der Schwingungen zu bestimmen.

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Lösung zu Aufgabe 21.1.1 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht in der Bestimmung der Schwingungsamplitude eines mechanischen Systems, beschrieben durch die Differentialgleichung q + (4π)²q = 0, wobei q die verallgemeinerte Koordinate m ist.

Anfangsbedingungen des Problems: Anfangsverschiebung des Systems q₀ = 0,02 m und Anfangsgeschwindigkeit q₀' = 2 m/s.

Um die Amplitude der Schwingungen zu ermitteln, muss diese Differentialgleichung gelöst werden. Die allgemeine Lösung einer solchen Gleichung hat die Form q(t) = Acos(2πt) + Bsin(2πt), wobei A und B beliebige Konstanten sind, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden.

Unter Verwendung der Anfangsbedingungen q₀ = 0,02 m und q₀' = 2 m/s können wir das Gleichungssystem schreiben:

q(0) = Acos(0) + Bsin(0) = A = 0,02 m q'(0) = -2πAsin(0) + 2πBcos(0) = 2 m/s

Von hier aus ergibt sich B = 0,16 m, was bedeutet, dass die Schwingungsamplitude gleich |A + iB| ist = sqrt(A² + B²) = 0,16 m.

Die Lösung des Problems besteht also darin, die Schwingungsamplitude des mechanischen Systems zu bestimmen, die 0,16 m beträgt.

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