Solution au problème 20.6.1 de la collection Kepe O.E.

Tâche : à partir de l'équation différentielle du mouvement du système correspondant à la coordonnée généralisée x2, trouver l'accélération x2 à l'instant où l'accélération x1 est de 5 m/s2 et la force généralisée Qx2 est de 2,5 N. L'énergie cinétique du Le système est déterminé par la formule T = 0,25x12 + 0,25(x12 + x1x2 + x22).

Répondre:

L'équation différentielle du mouvement du système en coordonnées généralisées a la forme :

d/dt (∂T/∂x˙i) - (∂T/∂xi) = Qi, où i = 1, 2.

Calculons les dérivées partielles de l'énergie cinétique du système :

∂T/∂x˙1 = 0,5x1 ∂T/∂x˙2 = 0,5(x1 + x2)

∂T/∂x1 = 0,5x1 ∂T/∂x2 = 0,5x2 ∂T/∂x1˙∂x2 = ∂T/∂x2˙∂x1 = 0,25

Remplaçons les valeurs obtenues dans l'équation différentielle du mouvement du système :

d/dt (0,5x1) - 0,5x1 = 0 d/dt (0,5(x1 + x2)) - 0,5x1 = 2,5

En considérant que l’accélération x1 est de 5 m/s2, on obtient :

0,5x1¨ - 0,5x1 = 0 0,5(x1¨ + x2¨) - 0,5x1 = 2,5

Exprimons x1¨ à partir de la première équation et substituons-le dans la deuxième équation :

x1¨ = x1/2 0,5(x1/2 + x2¨) - 0,5x1 = 2,5 x2¨ = 2,5 - x1/2 = 2,5 - 5/2 = 2,5

Réponse : l'accélération x2 au moment où l'accélération x1 est de 5 m/s2 et la force généralisée Qx2 est de 2,5 N est égale à 2,5 m/s2.

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La solution au problème repose sur l'équation différentielle du mouvement du système en coordonnées généralisées et le calcul des dérivées partielles de l'énergie cinétique du système. Après avoir remplacé les valeurs connues dans l'équation différentielle, l'accélération x2 a été trouvée, qui est égale à 2,5 m/s2.

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