Soluzione al problema 20.6.1 dalla collezione di Kepe O.E.

Obiettivo: dall'equazione differenziale del moto del sistema corrispondente alla coordinata generalizzata x2, trovare l'accelerazione x2 nel momento in cui l'accelerazione x1 è 5 m/s2 e la forza generalizzata Qx2 è 2,5 N. L'energia cinetica del il sistema è determinato dalla formula T = 0,25x12 + 0,25(x12 + x1x2 + x22).

Risposta:

L’equazione differenziale del moto del sistema in coordinate generalizzate ha la forma:

d/dt (∂T/∂x˙i) - (∂T/∂xi) = Qi, dove i = 1, 2.

Calcoliamo le derivate parziali dell'energia cinetica del sistema:

∂T/∂x˙1 = 0,5x1 ∂T/∂x˙2 = 0,5(x1 + x2)

∂T/∂x1 = 0,5x1 ∂T/∂x2 = 0,5x2 ∂T/∂x1˙∂x2 = ∂T/∂x2˙∂x1 = 0,25

Sostituiamo i valori ottenuti nell'equazione differenziale del moto del sistema:

d/dt (0,5x1) - 0,5x1 = 0 d/dt (0,5(x1 + x2)) - 0,5x1 = 2,5

Considerando che l'accelerazione x1 è 5 m/s2, otteniamo:

0,5x1¨ - 0,5x1 = 0 0,5(x1¨ + x2¨) - 0,5x1 = 2,5

Esprimiamo x1¨ dalla prima equazione e sostituiamolo nella seconda equazione:

x1¨ = x1/2 0,5(x1/2 + x2¨) - 0,5x1 = 2,5 x2¨ = 2,5 - x1/2 = 2,5 - 5/2 = 2,5

Risposta: l'accelerazione x2 nel momento in cui l'accelerazione x1 è 5 m/s2 e la forza generalizzata Qx2 è 2,5 N è pari a 2,5 m/s2.

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