Solução para o problema 20.6.1 da coleção de Kepe O.E.

Tarefa: a partir da equação diferencial do movimento do sistema correspondente à coordenada generalizada x2, encontre a aceleração x2 no momento em que a aceleração x1 é 5 m/s2 e a força generalizada Qx2 é 2,5 N. A energia cinética do o sistema é determinado pela fórmula T = 0,25x12 + 0,25(x12 + x1x2 + x22).

Responder:

A equação diferencial do movimento do sistema em coordenadas generalizadas tem a forma:

d/dt (∂T/∂x˙i) - (∂T/∂xi) = Qi, onde i = 1, 2.

Calculemos as derivadas parciais da energia cinética do sistema:

∂T/∂x˙1 = 0,5x1 ∂T/∂x˙2 = 0,5(x1 + x2)

∂T/∂x1 = 0,5x1 ∂T/∂x2 = 0,5x2 ∂T/∂x1˙∂x2 = ∂T/∂x2˙∂x1 = 0,25

Substituímos os valores obtidos na equação diferencial de movimento do sistema:

d/dt (0,5x1) - 0,5x1 = 0 d/dt (0,5(x1 + x2)) - 0,5x1 = 2,5

Considerando que a aceleração x1 é 5 m/s2, obtemos:

0,5x1¨ - 0,5x1 = 0 0,5(x1¨ + x2¨) - 0,5x1 = 2,5

Vamos expressar x1¨ da primeira equação e substituí-lo na segunda equação:

x1¨ = x1/2 0,5(x1/2 + x2¨) - 0,5x1 = 2,5 x2¨ = 2,5 - x1/2 = 2,5 - 5/2 = 2,5

Resposta: a aceleração x2 no momento em que a aceleração x1 é 5 m/s2 e a força generalizada Qx2 é 2,5 N é igual a 2,5 m/s2.

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A solução do problema baseia-se na equação diferencial do movimento do sistema em coordenadas generalizadas e no cálculo das derivadas parciais da energia cinética do sistema. Após substituir os valores conhecidos na equação diferencial, foi encontrada a aceleração x2, que é igual a 2,5 m/s2.

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