13.3.18 La metroetroetroetroetroetroasa de un punto material es igual a m = 16 kilos. Se mueve en un plano a lo largo de una trayectoria curva bajo la acción de la fuerza resultante. F = 0,3t. Es necesario determinar la velocidad de un punto a la vez. t = 20 s cuando el radio de curvatura de la trayectoria ? = 12 m, y el ángulo entre los vectores fuerza y velocidad es a = 50°. Redondea la respuesta a dos decimales (Respuesta 1,86).
Solución: creemos una ecuación para la segunda ley de Newton para este sistema: F = ma F = mv2/R Dónde v - velocidad puntual, R - radio de curvatura de la trayectoria. El ángulo entre los vectores fuerza y velocidad se puede determinar mediante la fórmula: cos(a) = (F·v)/(|F|·|v|) Dado que la fuerza resultante se dirige a lo largo de la trayectoria, coincide con la tangente a la trayectoria y es perpendicular al radio de curvatura. Por tanto, podemos escribir: F·v = |F|·|v|·pecado(a) Sustituye las expresiones resultantes para fuerza y ángulo en la ecuación de fuerza: mv2/R = |F|·|v|·pecado(a) v = (√(|F|·R·pecado(a)))/√(m) Sustituyamos los valores conocidos: F = 0,3t = 0,3·20 = 6N R = 12 metros m = 16 kilogramos a = 50° Entonces: v = (√(|6·12·sen(50°)|))/√(16) ≈ 1,86 m/s Respuesta: 1,86.
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Para este problema, compilamos la ecuación de la segunda ley de Newton, donde F es la fuerza resultante, m es la masa del punto material, v es la velocidad del punto, R es el radio de curvatura de la trayectoria. También usamos una fórmula para determinar el ángulo entre los vectores fuerza y velocidad, y también tomamos en cuenta que la fuerza resultante se dirige a lo largo de la trayectoria y coincide con la tangente a la trayectoria.
Sustituyendo valores conocidos (masa, fuerza resultante, radio de curvatura de la trayectoria y el ángulo entre los vectores fuerza y velocidad) en la ecuación de velocidad, obtuvimos la respuesta al problema: la velocidad del punto en el tiempo t = 20 s son aproximadamente 1,86 m/s. La respuesta se redondeó a dos decimales, según lo exigen las condiciones de la tarea.
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Problema 13.3.18 de la colección de Kepe O.?. se relaciona con el tema de la optimización de funciones. Para resolver el problema es necesario encontrar el mínimo de una función de dos variables con restricciones. Las condiciones del problema indican la aproximación inicial y el rango permisible de cambios en las variables.
Para resolver el problema, se pueden utilizar varios métodos de optimización, por ejemplo, el método de la función de penalización o el método de descenso más pronunciado. En definitiva, la solución al problema representa los valores de las variables en los que se alcanza el mínimo de la función, satisfaciendo las restricciones.
La solución a este problema puede ser útil para estudiantes y profesionales involucrados en el modelado matemático y optimización de funciones, así como para la resolución de problemas prácticos en diversos campos, por ejemplo, en economía, física, ingeniería, etc.
Problema 13.3.18 de la colección de Kepe O.?. se formula de la siguiente manera:
Un punto material con masa m = 16 kg se mueve en un plano a lo largo de una trayectoria curva bajo la acción de una fuerza resultante F = 0,3t. Es necesario determinar la velocidad de un punto en el tiempo t = 20s, cuando el radio de curvatura de la trayectoria es ? = 12 m y el ángulo entre los vectores fuerza y velocidad a = 50°. La respuesta al problema es 1,86.
Para resolver el problema, puedes utilizar la ley de conservación de la energía y la ley del cambio de impulso. De las condiciones del problema se conoce la fuerza resultante F, que actúa sobre el punto y cambia su velocidad. El radio de curvatura de la trayectoria y el ángulo entre los vectores fuerza y velocidad permiten determinar la dirección y magnitud de la aceleración centrípeta del punto. Conociendo la aceleración centrípeta, puedes determinar la velocidad del punto en el tiempo t = 20 s usando la fórmula para la aceleración centrípeta y la ley de conservación de la energía.
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