13.7.9 本题中,给出一个物体 1,它沿直线方向 2 运动。物体内部有一个圆弧形的通道,质量为 m 的球 3 沿着该通道移动。需要确定物体1的加速度a1,如果在通道的旋转角度? = 60° 球处于相对静止状态。问题答案是5.66。
该问题的解决方案可以表示为一系列连续的操作。让我们首先编写球在通道内的运动方程。为此,必须考虑作用在球上的重力以及从通道壁作用的法向加速力。让我们写出球加速度 a 的方程:a = g * sin(?) - (v^2 * cos(?) / R),其中 g 是重力加速度,? - 通道的旋转角度,v - 球的速度,R - 通道的曲率半径。
接下来,考虑主体 1 在 x 轴方向上的运动。根据牛顿第二定律,作用在物体上的所有力的总和等于物体的质量与其加速度的乘积。让我们写出物体加速度 a1 的方程:a1 = F / m,其中 F 是作用在物体上的力。
下一步是通过球的加速度a和通道的旋转角度θ来表达力F。为此,我们将使用能量守恒定律,根据该定律,系统的动能和势能之和保持恒定。让我们写出系统动能的方程:m * v^2 / 2 = (m * g * R * (1 - cos(?))) / 2,其中第一项是球的动能,第二个是球的势能,第三个是物体 1 的势能。
根据动能方程,我们可以表达球的速度v:v = sqrt(g * R * (1 - cos(?)))。
我们将这个速度表达式代入球的加速度方程,得到:a = g * sin(?) - (g * cos(?) * (1 - cos(?)))。
最后,我们通过球a的加速度和通道的旋转角度?来表示力F:F = m * (g * sin(?) - (g * cos(?) * (1 - cos(?) ))))。
我们将力的表达式代入物体加速度方程,得到最终答案:a1 = g * sin(?) - (g * cos(?) * (1 - cos(?)))。
在 ? = 60° 且 g = 9.8 m/s^2 我们得到 a1 = 5.66 m/s^2。
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