Soluzione al problema 13.7.9 dalla collezione di Kepe O.E.

13.7.9 Nel problema è dato un corpo 1, che si muove lungo direzioni rettilinee 2. All'interno del corpo c'è un canale a forma di arco circolare, lungo il quale si muove una palla 3 di massa m. È necessario determinare l'accelerazione a1 del corpo 1 se all'angolo di rotazione del canale ? = 60° la palla è relativamente ferma. La risposta al problema è 5.66.

La soluzione a questo problema può essere rappresentata come una serie di azioni sequenziali. Cominciamo componendo l'equazione del moto della palla all'interno del canale. Per fare ciò, è necessario tenere conto della forza di gravità che agisce sulla palla, nonché della normale forza di accelerazione che agisce dalle pareti del canale. Scriviamo l'equazione per l'accelerazione della palla a: a = g * sin(?) - (v^2 * cos(?) / R), dove g è l'accelerazione di gravità, ? - angolo di rotazione del canale, v - velocità della palla, R - raggio di curvatura del canale.

Consideriamo poi il movimento del corpo 1 nella direzione dell'asse x. Secondo la seconda legge di Newton, la somma di tutte le forze che agiscono su un corpo è uguale al prodotto della massa del corpo per la sua accelerazione. Scriviamo l'equazione per l'accelerazione del corpo a1: a1 = F / m, dove F è la forza che agisce sul corpo.

Il passo successivo è esprimere la forza F attraverso l'accelerazione della palla a e l'angolo di rotazione del canale ?. Per fare ciò utilizzeremo la legge di conservazione dell'energia, secondo la quale la somma dell'energia cinetica e potenziale del sistema rimane costante. Scriviamo l'equazione per l'energia cinetica del sistema: m * v^2 / 2 = (m * g * R * (1 - cos(?))) / 2, dove il primo termine è l'energia cinetica della palla , la seconda è l'energia potenziale della palla, la terza è l'energia potenziale di un corpo 1.

Dall'equazione dell'energia cinetica possiamo esprimere la velocità della palla v: v = sqrt(g * R * (1 - cos(?))).

Sostituiamo questa espressione con la velocità nell'equazione per l'accelerazione della palla e otteniamo: a = g * sin(?) - (g * cos(?) * (1 - cos(?))).

Infine, esprimiamo la forza F attraverso l'accelerazione della palla a e l'angolo di rotazione del canale ?: F = m * (g * sin(?) - (g * cos(?) * (1 - cos(? )))).

Sostituiamo l'espressione della forza nell'equazione per l'accelerazione del corpo e otteniamo la risposta finale: a1 = g * sin(?) - (g * cos(?) * (1 - cos(?))).

A ? = 60° e g = 9,8 m/s^2 otteniamo a1 = 5,66 m/s^2.

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