Ryabushko A.P. IDZ 6.2 versione 15

IDZ-6.2. Risoluzione di problemi di calcolo differenziale.

N. 1.15. Viene data l'equazione 4sin²(x+y) = x. È necessario trovare la derivata prima e seconda della funzione y rispetto alla variabile x.

Soluzione: Differenziare questa equazione rispetto a x utilizzando la regola per differenziare una funzione complessa: (4sin²(x+y))' = x' 8sin(x+y)cos(x+y)(y' + 1) = 1 y' = ( 1 - 8sen(x+y)cos(x+y)) / (8sen(x+y)cos(x+y))

Differenziamo l'espressione risultante rispetto a x utilizzando la regola di differenziazione del quoziente: y'' = [(8sin(x+y)cos(x+y))(8sin(x+y)cos(x+y)) - ( 1 - 8sen( x+y)cos(x+y))(8cos(x+y)cos(x+y) - 8sen(x+y)sen(x+y))]/(8sen(x+y )cos(x +y))^3 y'' = [16sin²(x+y) - 8cos²(x+y)] / (8sin(x+y)cos(x+y))^2 y'' = [2sin²(2x + 2y) - 1] / (sin(2x + 2y))^2

Risultato: y' = (1 - 8sin(x+y)cos(x+y)) / (8sin(x+y)cos(x+y)), y'' = [2sin²(2x + 2y) - 1 ] / (peccato(2x + 2y))^2.

N. 2.15. Vengono fornite le equazioni x = arctan t, y = Ln(1 + t²). È necessario trovare la derivata prima e seconda della funzione y rispetto alla variabile x.

Soluzione: Rappresentiamo y in funzione di t: y(t) = Ln(1 + t²). Quindi esprimiamo t in termini di x: t(x) = tan(x).

Troviamo la derivata prima di y rispetto a x utilizzando la regola per derivare una funzione complessa: y' = y'(t) * t'(x) = 2t / (1 + t²)

Troviamo la derivata seconda di y rispetto a x: y'' = (2(1 + t²) - 4t²) / (1 + t²)^2 = -2 / (1 + t²)^2

Sostituiamo t con tg(x) e otteniamo: y' = 2tg(x) / (1 + tg²(x)), y'' = -2cos²(x) / (1 + tg²(x))^2

Risultato: y' = 2tg(x) / (1 + tg²(x)), y'' = -2cos²(x) / (1 + tg²(x))^2.

N. 3.15. Data la funzione y = x sin2x e l'argomento x₀ = -π/4. È necessario trovare la derivata terza della funzione y nel punto x₀.

Soluzione: Derivata prima della funzione y: y' = sin2x + 2xcos2x. La derivata seconda della funzione y: y'' = 2cos2x - 4xsin2x. Derivata terza della funzione y: y''' = -12cos2x - 8xsin2x.

Sostituisci x₀ = -π/4 e ottieni: y'''(-π/4) = -12cos(π/2) - 8(-π/4)sin(π/2) = 12

Risposta: y'''(-π/4) = 12.

N. 4.15. Scrivi una formula per la derivata dell'ordine ennesimo della funzione y = 5ˣ.

Soluzione: Derivata prima della funzione y: y' = 5ln(5)5^x. Derivata seconda della funzione y: y'' = (5ln(5))^25^x. Derivata terza della funzione y: y''' = (5ln(5))^35^x. ...ennesima derivata della funzione y: yⁿ = (5ln(5))^n5^x.

Risposta: yⁿ = (5ln(5))^n5^x.

N. 5.15. Trova l'equazione della normale alla curva y = 6tg5x nel punto con l'ascissa x = π/20.

Soluzione: Trova la derivata prima della funzione y: y' = 65 secondi²(5x). Nel punto x = π/20 il valore di y': y'(π/20) = 65sec²(π/4) = 30.

L'equazione della tangente alla curva y = 6tg5x nel punto x₀ ha la forma: y - y(x₀) = y'(x₀)*(x - x₀)

Sostituiamo x₀ = π/20 e y'(π/20) = 30: y - 6tg(5π/20) = 30(x - π/20)

Semplifichiamo l'equazione utilizzando tg(π/4) = 1: y = 30x - 6

L'equazione della normale alla curva y = 6tg5x nel punto x = π/20 sarà perpendicolare alla tangente e passerà per il punto (π/20, 6tg(π/20)): y - 6tg(π/20 ) = (-1/30)( x - π/20)

Equazione semplice che utilizza tg(π/4) = 1: y = (-1/30)x + (7/3)

Risposta: l'equazione della normale alla curva y = 6tg5x nel punto con l'ascissa x = π/20 ha la forma y = (-1/30)x + (7/3).

N. 6.15. Due punti materiali si muovono lungo l'asse del Bue con le leggi del moto x₁ = 3t² - 8 e x₂ = 2t² + 5t + 6. È necessario trovare la velocità con cui questi punti si allontanano l'uno dall'altro nel momento dell'incontro.

Soluzione: La distanza tra i punti x₁ e x₂ al momento dell'incontro sarà uguale a |x₁ - x₂|. |x₁ - x₂| = |(3t² - 8) - (2t² + 5t + 6)| = |t² - 5t - 14| = |(t - 7)(t + 2)|

Il momento dell'incontro è determinato dalla condizione x₁ = x₂: 3t² - 8 = 2t² + 5t + 6 t² + 5t - 14 = 0 (t - 2)(t + 7) = 0 t₁ = 2, t₂ = -7

Dalle condizioni del problema segue che i punti si scontrano, cioè muovendosi in direzioni opposte. Pertanto, al momento dell'incontro, la velocità con cui si allontaneranno l'uno dall'altro sarà pari alla somma delle loro velocità. Troviamo le velocità dei punti nel momento dell'incontro: v₁ = x₁'(t₁) = 12t₁ = 24 v₂ = x₂'(t₁) = 4t₁ + 5 = 13

La velocità dei punti che si allontanano l'uno dall'altro al momento dell'incontro sarà pari a |v₁ - v₂|: |v₁ - v₂| = |24 - 13| = 11

Risposta: la velocità con cui due punti materiali si allontanano l'uno dall'altro nel momento dell'incontro è pari a 11.

Questo prodotto digitale è una soluzione ai problemi di calcolo differenziale nell'ambito dei Compiti Individuali (IH) numero 6.2, opzione 15, dell'autore Ryabushko A.P. Il prodotto include soluzioni ai problemi di determinazione delle derivate di funzioni, dell'equazione della normale a una curva, nonché al problema di determinare la velocità dei punti materiali che si allontanano l'uno dall'altro.

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Questo prodotto è una soluzione ai problemi di calcolo differenziale, opzione 15 dell'attività IDZ 6.2. L'attività richiede di trovare la derivata prima e seconda delle funzioni rispetto alla variabile x per tre funzioni: 4sin²(x+y) = x, y = Ln(1 + t²), dove t = tan(x) e y = x peccato2x. Occorre inoltre trovare la derivata terza della funzione y = x sin2x nel punto x₀ = -π/4 e la velocità con cui due punti materiali si allontanano l'uno dall'altro nel momento dell'incontro. Le soluzioni ai problemi sono presentate in formato testo.

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Cossacks 3: Rise to Glory è un pacchetto di espansione per Cossacks 3 che consente ai giocatori di diventare grandi comandanti e prendere parte a battaglie storiche che hanno cambiato il corso della storia. Oltre a questo, Rise to Glory include molte nuove funzionalità come nuove nazioni, unità, climi, campagne uniche e scenari per giocatore singolo.

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