Ryabushko A.P. IDZ6.2 version 15

IDZ-6.2. Résoudre des problèmes de calcul différentiel.

N° 1.15. L'équation 4sin²(x+y) = x est donnée. Il faut trouver les dérivées première et seconde de la fonction y par rapport à la variable x.

Solution : Différenciez cette équation par rapport à x en utilisant la règle de différenciation d'une fonction complexe : (4sin²(x+y))' = x' 8sin(x+y)cos(x+y)(y' + 1) = 1 y' = ( 1 - 8sin(x+y)cos(x+y)) / (8sin(x+y)cos(x+y))

Nous différencions l'expression résultante par rapport à x en utilisant la règle de différenciation du quotient : y'' = [(8sin(x+y)cos(x+y))(8sin(x+y)cos(x+y)) - ( 1 - 8sin(x+y)cos(x+y))(8cos(x+y)cos(x+y) - 8sin(x+y)sin(x+y))]/(8sin(x+y) )cos(x +y))^3 y'' = [16sin²(x+y) - 8cos²(x+y)] / (8sin(x+y)cos(x+y))^2 y'' = [2sin²(2x + 2y) - 1] / (sin(2x + 2y))^2

Réponse: y' = (1 - 8sin(x+y)cos(x+y)) / (8sin(x+y)cos(x+y)), y'' = [2sin²(2x + 2y) - 1 ] / (péché(2x + 2y))^2.

N° 2.15. Les équations x = arctan t, y = Ln(1 + t²) sont données. Il faut trouver les dérivées première et seconde de la fonction y par rapport à la variable x.

Solution : Représentons y en fonction de t : y(t) = Ln(1 + t²). Ensuite, nous exprimons t en fonction de x : t(x) = tan(x).

Trouvons la dérivée première de y par rapport à x en utilisant la règle de différenciation d'une fonction complexe : y' = y'(t) * t'(x) = 2t / (1 + t²)

Trouvons la dérivée seconde de y par rapport à x : y'' = (2(1 + t²) - 4t²) / (1 + t²)^2 = -2 / (1 + t²)^2

On remplace t par tg(x) et on obtient : y' = 2tg(x) / (1 + tg²(x)), y'' = -2cos²(x) / (1 + tg²(x))^2

Réponse : y' = 2tg(x) / (1 + tg²(x)), y'' = -2cos²(x) / (1 + tg²(x))^2.

N ° 3.15. Étant donné la fonction y = x sin2x et l'argument x₀ = -π/4. Il faut trouver la dérivée troisième de la fonction y au point x₀.

Solution : Dérivée première de la fonction y : y' = sin2x + 2xcos2x. La dérivée seconde de la fonction y : y'' = 2cos2x - 4xsin2x. Dérivée troisième de la fonction y : y''' = -12cos2x - 8xsin2x.

Remplacez x₀ = -π/4 et obtenez : y'''(-π/4) = -12cos(π/2) - 8(-π/4)sin(π/2) = 12

Réponse : y'''(-π/4) = 12.

N° 4.15. Écrivez une formule pour la dérivée d'ordre n de la fonction y = 5ˣ.

Solution : Dérivée première de la fonction y : y' = 5ln(5)5^x. Dérivée seconde de la fonction y : y'' = (5ln(5))^25^x. Dérivée troisième de la fonction y : y''' = (5ln(5))^35^x. ...nième dérivée de la fonction y : yⁿ = (5ln(5))^n5^x.

Réponse : yⁿ = (5ln(5))^n5^x.

N° 5.15. Trouver l'équation de la normale à la courbe y = 6tg5x au point d'abscisse x = π/20.

Solution : Trouver la dérivée première de la fonction y : y' = 65 secondes² (5x). Au point x = π/20 la valeur de y' : y'(π/20) = 65sec²(π/4) = 30.

L'équation de la tangente à la courbe y = 6tg5x au point x₀ a la forme : y - y(x₀) = y'(x₀)*(x - x₀)

Remplaçons x₀ = π/20 et y'(π/20) = 30 : y - 6tg(5π/20) = 30(x - π/20)

Simplifions l'équation en utilisant tg(π/4) = 1 : y = 30x - 6

L'équation de la normale à la courbe y = 6tg5x au point x = π/20 sera perpendiculaire à la tangente et passera par le point (π/20, 6tg(π/20)) : y - 6tg(π/20 ) = (-1/30)( x - π/20)

Équation simple utilisant tg(π/4) = 1 : y = (-1/30)x + (7/3)

Réponse : l'équation de la normale à la courbe y = 6tg5x au point d'abscisse x = π/20 a la forme y = (-1/30)x + (7/3).

N° 6.15. Deux points matériels se déplacent le long de l'axe Ox avec les lois du mouvement x₁ = 3t² - 8 et x₂ = 2t² + 5t + 6. Il faut trouver la vitesse à laquelle ces points s'éloignent l'un de l'autre au moment de leur rencontre.

Solution : La distance entre les points x₁ et x₂ au moment de la rencontre sera égale à |x₁ - x₂|. |x₁ - x₂| = |(3t² - 8) - (2t² + 5t + 6)| = |t² - 5t - 14| = |(t - 7)(t + 2)|

Le moment de rencontre est déterminé à partir de la condition x₁ = x₂ : 3t² - 8 = 2t² + 5t + 6 t² + 5t - 14 = 0 (t - 2)(t + 7) = 0 t₁ = 2, t₂ = -7

Des conditions du problème, il s'ensuit que les points entrent en collision, c'est-à-dire se déplaçant dans des directions opposées. Ainsi, au moment de leur rencontre, la vitesse à laquelle ils s'éloignent l'un de l'autre sera égale à la somme de leurs vitesses. Trouvons les vitesses des points au moment de la rencontre : v₁ = x₁'(t₁) = 12t₁ = 24 v₂ = x₂'(t₁) = 4t₁ + 5 = 13

La vitesse des points s'éloignant les uns des autres au moment de la rencontre sera égale à |v₁ - v₂| : |v₁ - v₂| = |24 - 13| = 11

Réponse : la vitesse à laquelle deux points matériels s'éloignent l'un de l'autre au moment de leur rencontre est égale à 11.

Ce produit numérique est une solution aux problèmes de calcul différentiel dans le cadre du Devoir Individuel (IH) numéro 6.2, option 15, de l'auteur Ryabushko A.P. Le produit comprend des solutions aux problèmes de recherche de dérivées de fonctions, d'équation de la normale à une courbe, ainsi qu'à un problème de détermination de la vitesse des points matériels s'éloignant les uns des autres.

Ce produit est conçu dans un beau format HTML, qui vous permettra de vous familiariser facilement et rapidement avec les solutions aux problèmes. Vous pouvez également facilement enregistrer ce fichier sur votre appareil et l'utiliser à des fins éducatives.

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Ce produit est une solution aux problèmes de calcul différentiel, option 15 de la tâche IDZ 6.2. La tâche nécessite de trouver les dérivées première et seconde des fonctions par rapport à la variable x pour trois fonctions : 4sin²(x+y) = x, y = Ln(1 + t²), où t = tan(x) et y = x péché2x. Il faut aussi trouver la dérivée troisième de la fonction y = x sin2x au point x₀ = -π/4 et la vitesse à laquelle deux points matériels s'éloignent l'un de l'autre au moment de la rencontre. Les solutions aux problèmes sont présentées sous forme de texte.

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