51. 長さ L = 40 cm の均一なロッド、固定

水平軸に対して垂直に固定され、重力の影響下にある長さ L = 40 cm の均質なロッドの振動を研究します。ロッドの振動周波数が最大となる質量中心からサスペンション軸までの距離 l を決定する必要があります。摩擦力は無視できるものと仮定します。

この問題を解決するには、数学的な振り子の振動周期の公式を使用する必要があります。

T = 2π√(l/g)

ここで、l は質量中心からサスペンション軸までの距離、g は自由落下の加速度です。

発振周波数と周期は次のように関係します。

f = 1/T

したがって、最大発振周波数を決定するには、周期 T が最小になる距離 l を見つける必要があります。これを行うには、期間の式を l に関して微分する必要があります。

dT/dl = -π/√(gl)

導関数をゼロにすると、次のようになります。

l = (π^2*g)/T^2

期間の値を代入すると、次のようになります。

l = (π^2*g)/(4π^2*(L/2)/f)^2 = (g*L^2)/(16*f^2)

したがって、振動周波数が最大となる質量中心からサスペンション軸までの距離 l は次のようになります。

l = (g*L^2)/(16*f^2) = (9.81*0.4^2)/(16*f^2) ≈ 0.098/f^2

この式を使用すると、振幅が小さく摩擦力がない場合の均質ロッドの振動の最大周波数に対する最適な距離を決定できます。

均一なロッドで小さな振動に対応

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