Lösung zu Aufgabe 15.4.8 aus der Sammlung von Kepe O.E.

15.4.8 Bei dieser Aufgabe ist es notwendig, die kinetische Energie eines homogenen Stabes AB mit einer Länge von 2 m und einer Masse von m = 6 kg zu dem Zeitpunkt zu ermitteln, an dem der Winkel zwischen dem Stab und dem Horizont 45 beträgt Grad und die Geschwindigkeit von Punkt A beträgt 1 m/s. Die Stange bewegt sich, indem sie die Enden A und B entlang horizontaler und vertikaler Ebenen verschiebt.

Um das Problem zu lösen, muss die Formel für die kinetische Energie der Rotationsbewegung verwendet werden: K = Iω²/2, wobei I das Trägheitsmoment relativ zur Rotationsachse und ω die Winkelgeschwindigkeit der Rotation ist.

Rod AB kann in zwei Teile geteilt werden: horizontal und vertikal. Für jeden von ihnen muss das Trägheitsmoment um die Rotationsachse ermittelt werden, die durch den Massenschwerpunkt verläuft.

Das Trägheitsmoment des horizontalen Teils der Stange relativ zur Achse, die durch den Massenschwerpunkt verläuft, ist gleich Ig = (1/12) * m * l², wobei l die Länge des horizontalen Teils der Stange (l) ist = 2/√2 m).

Das Trägheitsmoment des vertikalen Teils der Stange relativ zur gleichen Achse beträgt Iв = m * (l/2)².

Das Gesamtträgheitsmoment des Stabes relativ zur durch den Massenschwerpunkt verlaufenden Achse ist gleich der Summe der Trägheitsmomente seiner Teile: I = Ig + Iv.

Wenn wir das Trägheitsmoment kennen, können wir die Drehwinkelgeschwindigkeit ω ermitteln, die gleich ω = vA / (l/2) = 1 / (2/√2) rad/s ist.

Wenn Sie nun das Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit der Drehung kennen, können Sie die kinetische Energie des Stabes ermitteln: K = Iω²/2 = ((1/12) * m * l² + m * (l/2)²) * (1 / (2/√ 2))² / 2 = 2 mJ.

Wenn also der Winkel zwischen Stab und Horizont 45 Grad beträgt und die Geschwindigkeit von Punkt A 1 m/s beträgt, beträgt die kinetische Energie von Stab AB 2 mJ.

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