Dievsky V.A. - Solução do problema D6 opção 20 (D6-20)

Problema D6-20 em mecânica: determinar a aceleração angular ou linear para um determinado sistema mecânico usando equações de Lagrange de segundo tipo. Os fios do sistema são considerados leves e inextensíveis. As seguintes notações são usadas para cálculos: m - massas corporais, R e r - raios, ρ - raio de giração (se não for especificado, o corpo é considerado um cilindro homogêneo). Se houver atrito no sistema, então os coeficientes de atrito de deslizamento f e atrito de rolamento fk são indicados.

Ao resolver o problema, devem ser utilizadas equações de Lagrange do segundo tipo, que permitem determinar as acelerações dos corpos do sistema. As equações de Lagrange do segundo tipo são assim:

d/dt (dL/dq_i) - dL/dq_i = Q_i,

onde L é o Lagrangiano do sistema, q_i são as coordenadas generalizadas do sistema, Q_i são as forças generalizadas do sistema.

Para determinar o Lagrangiano L do sistema, é necessário expressar as energias cinética e potencial do sistema através das coordenadas generalizadas q_i e suas derivadas. Por exemplo, para um cilindro homogêneo de massa m e raio r, girando em torno de seu eixo com velocidade angular ômega, a energia cinética será igual a:

T = 1/2 * m * r ^ 2 * ômega ^ 2.

Para determinar a energia potencial, é necessário levar em consideração as forças que atuam nos corpos do sistema. Por exemplo, para um cilindro em um plano inclinado com ângulo de inclinação alfa, a energia potencial será igual a:

Você = m * g * r * cos(alfa).

Os coeficientes de atrito de deslizamento f e de rolamento fk são levados em consideração nas equações de Lagrange do segundo tipo através das forças generalizadas Q_i.

Depois de expressar o Lagrangiano L e as forças generalizadas Q_i para um determinado sistema, podemos escrever as equações de Lagrange do segundo tipo e resolvê-las para determinar as acelerações dos corpos do sistema.

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O problema leva em consideração massas corporais, raios, raio de giração, coeficientes de atrito de deslizamento e rolamento. Os fios do sistema são considerados leves e inextensíveis. Para os cálculos são utilizadas equações de Lagrange do segundo tipo, que permitem determinar as acelerações dos corpos do sistema.

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