Dievsky V.A. - Lösung des Problems D6 Option 20 (D6-20)

Aufgabe D6-20 in der Mechanik: Bestimmen Sie die Winkel- oder Linearbeschleunigung für ein gegebenes mechanisches System mithilfe von Lagrange-Gleichungen zweiter Art. Die Fäden des Systems gelten als schwerelos und nicht dehnbar. Für die Berechnungen werden folgende Bezeichnungen verwendet: m – Körpermassen, R und r – Radien, ρ – Trägheitsradius (wenn nicht anders angegeben, wird der Körper als homogener Zylinder betrachtet). Liegt im System Reibung vor, werden die Gleitreibungskoeffizienten f und die Rollreibungskoeffizienten fk angegeben.

Bei der Lösung des Problems sollte man Lagrange-Gleichungen zweiter Art verwenden, die es ermöglichen, die Beschleunigungen der Körper des Systems zu bestimmen. Lagrange-Gleichungen zweiter Art sehen folgendermaßen aus:

d/dt (dL/dq_i) - dL/dq_i = Q_i,

wobei L der Lagrange-Operator des Systems ist, q_i die verallgemeinerten Koordinaten des Systems sind, Q_i die verallgemeinerten Kräfte des Systems sind.

Um den Lagrange-Wert L des Systems zu bestimmen, ist es notwendig, die kinetischen und potentiellen Energien des Systems durch die verallgemeinerten Koordinaten q_i und deren Ableitungen auszudrücken. Für einen homogenen Zylinder der Masse m und des Radius r, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit Omega um seine Achse dreht, ist die kinetische Energie beispielsweise gleich:

T = 1/2 * m * r^2 * Omega^2.

Um die potentielle Energie zu bestimmen, müssen die auf die Körper des Systems wirkenden Kräfte berücksichtigt werden. Für einen Zylinder auf einer schiefen Ebene mit einem Neigungswinkel Alpha ist die potentielle Energie beispielsweise gleich:

U = m * g * r * cos(alpha).

Die Gleitreibungskoeffizienten f und Rollreibungskoeffizienten fk werden in den Lagrange-Gleichungen zweiter Art durch die verallgemeinerten Kräfte Q_i berücksichtigt.

Nachdem wir den Lagrange-Wert L und die verallgemeinerten Kräfte Q_i für ein gegebenes System ausgedrückt haben, können wir die Lagrange-Gleichungen zweiter Art schreiben und sie lösen, um die Beschleunigungen der Körper des Systems zu bestimmen.

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Das Problem berücksichtigt Körpermassen, Radien, Trägheitsradius, Gleit- und Rollreibungskoeffizienten. Die Fäden des Systems gelten als schwerelos und nicht dehnbar. Für Berechnungen werden Lagrange-Gleichungen zweiter Art verwendet, die es ermöglichen, die Beschleunigungen der Körper des Systems zu bestimmen.

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